2023年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题。
一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。
1) 曲线的水平渐近线方程为。
2) 设函数在处连续，则。
3) 广义积分。
4) 微分方程的通解是。
5) 设函数确定，则。
6) 设，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则 .
二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
7) 设函数具有二阶导数，且为自变量在点处的增量，与分别为在点处对应增量与微分，若，则( )
(ab) (cd)
8) 设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是( )
(a)连续的奇函数b)连续的偶函数。
(c)在间断的奇函数d)在间断的偶函数。
9) 设函数可微，则等于( )
(abcd)
10) 函数满足的一个微分方程是( )
(ab) (cd)
11) 设为连续函数，则等于( )
(ab) (cd)
12) 设均为可微函数，且在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是( )
(a)若 (b)若。
(c)若 (d)若。
13) 设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是( )
a)若线性相关，则线性相关。
(b)若线性相关，则线性无关。
(c)若线性无关，则线性相关。
d)若线性无关，则线性无关。
14) 设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则( )
ab) (cd)
三、解答题：15－23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15)(本题满分10分)
试确定常数的值，使得，其中是当时比高阶的无穷小。
16)(本题满分10分)
求。17)(本题满分10分)
设区域，计算二重积分
18)(本题满分12分)
设数列满足，
(i) 证明存在，并求该极限ii) 计算。
19)(本题满分10分)
证明：当时，.
20)(本题满分12分)
设函数内具有二阶导数，且满足等式。
i)验证ii)若， 求函数。
21)(本题满分12分)
已知曲线的方程。
i) 讨论的凹凸性；
ii) 过点引的切线，求切点，并写出切线的方程；
iii) 求此切线与(对应的部分)及轴所围成的平面图形的面积。
(22)(本题满分9分)
已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解。
i) 证明此方程组系数矩阵的秩； (求的值及方程组的通解。
23)(本题满分9分)
设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解。
i) 求的特征值与特征向量；
ii) 求正交矩阵和对角矩阵，使得。
2023年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析。
一、填空题。
1)【答案】
详解】 由水平渐近线的定义及无穷小量的性质---无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量”可知。
时为无穷小量，，均为有界量。 故，是水平渐近线。
2)【答案】
详解】按连续性定义，极限值等于函数值，故。
注：型未定式，可以采用洛必达法则；等价无穷小量的替换。
3)【答案】
详解】4) 【答案】.
详解】分离变量，5)【答案】
详解】题目考察由方程确定的隐函数在某一点处的导数。
在原方程中令。
将方程两边对求导得，令得。
(6) 【答案】
详解】由已知条件变形得， ,两边取行列式， 得。
其中，因此，.
二、选择题。
7)【答案】
详解】方法1： 图示法。
因为则严格单调增加；因为则是凹函数，又，画的图形。
结合图形分析，就可以明显得出结论：.
方法2：用两次拉格朗日中值定理。
前两项用拉氏定理)
再用一次拉氏定理)
其中。由于，从而。 又由于，故选。
方法3： 用拉格朗日余项一阶泰勒公式。 泰勒公式：
其中。 此时取1代入，可得。
又由，选。8)【答案】()
详解】方法1：赋值法
特殊选取，满足所有条件，则。
它是连续的偶函数。 因此，选()
方法2：显然在任意区间上可积，于是处处连续，又。
即为偶函数 . 选 ()
9)【答案】()
详解】利用复合函数求导法。
两边对求导。
将代入上式， .故选().
10)【答案】()
详解】题目由二阶线性常系数非齐次方程的通解，反求二阶常系数非齐次微分方程，分两步进行，先求出二阶常系数齐次微分方程的形式，再由特解定常数项。
因为是某二阶线性常系数非齐次方程的通解，所以该方程对应的齐次方程的特征根为1和-2，于是特征方程为，对应的齐次微分方程为。
所以不选()与()，为了确定是()还是()，只要将特解代入方程左边，计算得，故选().
11) 【答案】
详解】记，则区域的极坐标表示是： ，题目考察极坐标和直角坐标的互化问题，画出积分区间，结合图形可以看出，直角坐标的积分范围（注意与在第一象限的交点是），于是
所以，原式。 因此选。
12) 【答案】
详解】方法1： 化条件极值问题为一元函数极值问题。
已知，由，在邻域，可确定隐函数，满足，。
是在条件下的一个极值点是的极值点。它的必要条件是。
若，则，或，因此不选，.
若，则(否则). 因此选。
方法2：用拉格朗日乘子法。 引入函数，有。
因为，所以，代入(1)得。
若，则，选。
13) 【答案】a
详解】方法1：若线性相关， 则由线性相关定义存在不全为的数使得
为了得到的形式，用左乘等式两边， 得。
于是存在不全为的数使得成立，所以线性相关。
方法：如果用秩来解，则更加简单明了。 只要熟悉两个基本性质， 它们是：
1.线性相关；2..
矩阵， 设， 则由得。 所以答案应该为().
14) 【答案】
详解】用初等矩阵在乘法中的作用(矩阵左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵进行初等行变换或列变换)得出。
将的第2行加到第1行得，即
将的第1列的-1倍加到第2列得，即。
因为，故。
从而 ,故选().
三、解答题。
15) 【详解】
方法1：用泰勒公式。
将代入题设等式整理得。
比较两边同次幂函数得，由此可解得 ，，
方法2： 用洛必达法则。 由。
要求分子极限为0，即，否则。
要求分子极限为0，即，否则。
所以。解得。
16)【详解】题目考察不定积分的计算，利用变量替换和分部积分的方法计算。
所以 17)【详解】积分区域对称于轴，为的奇函数，从而知
所以 18) 【详解】(i) 由于时，，于是，说明数列单调减少且。 由单调有界准则知存在。记为。
递推公式两边取极限得。
ii) 原式，为“”型。
因为离散型不能直接用洛必达法则，先考虑。
所以 19) 【详解】令，只需证明单调增加(严格)
单调减少(严格)，又，故时，则单调增加(严格)
得证。20) 【详解】(i)由于题目是验证，只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了。
同理 代入，得 ，所以成立。
ii) 令于是上述方程成为，则，即 ，所以。
因为，所以，得。
又因为，所以，得。
21)【详解】
方法1：计算该参数方程的各阶导数如下。
i) 所以曲线在处是凸的。
ii) 切线方程为，设，则
得 所以，切点为(2，3)，切线方程为。
iii) 设l的方程， 则。
由。由于点(2，3)在l上，由。
所以 方法2：(i) 解出：由代入得。
于是， 曲线是凸的 .
ii)上任意点处的切线方程是，其中(时不合题意).
令，得 令，得 .
其余同方法1，得。
iii) 所求图形面积。
22) 【详解】(i)系数矩阵未知量的个数为，且又有三个线性无关解，设是方程组的3个线性无关的解， 则是的两个线性无关的解。 因为线性无关又是齐次方程的解，于是的基础解系中解的个数不少于2, 得， 从而。
又因为的行向量是两两线性无关的， 所以。 所以。
ii)对方程组的增广矩阵作初等行变换：
由， 得， 即。
所以作初等行变换后化为；，它的同解方程组。
中令求出的一个特解；
的同解方程组是。
取代入②得；取代入②得。 所以的基础解系为，
所以方程组的通解为：
为任意常数
23) 【详解】(i) 由题设条件，，故是的对应于的特征向量，又因为线性无关，故至少是的二重特征值。 又因为的每行元素之和为，所以有，由特征值、特征向量的定义，是的特征向量， 特征值为，只能是单根，是全体特征向量，从而知是二重特征值。
于是的特征值为；属于的特征向量：；属于的特征向量：，不都为。
ⅱ) 为了求出可逆矩阵必须对特征向量进行单位正交化 .
先将单位化， 得。
对作施密特正交化， 得， .
作， 则是正交矩阵，并且
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