考研数二真题及解析2019考研数二真题及解析

发布 2022-06-12 04:05:28 阅读 1880

2023年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题。

一、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上。

1) 曲线的水平渐近线方程为。

2) 设函数在处连续,则。

3) 广义积分。

4) 微分方程的通解是。

5) 设函数确定,则。

6) 设,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则 .

二、选择题:9-14小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内。

7) 设函数具有二阶导数,且为自变量在点处的增量,与分别为在点处对应增量与微分,若,则( )

(ab) (cd)

8) 设是奇函数,除外处处连续,是其第一类间断点,则是( )

(a)连续的奇函数b)连续的偶函数。

(c)在间断的奇函数d)在间断的偶函数。

9) 设函数可微,则等于( )

(abcd)

10) 函数满足的一个微分方程是( )

(ab) (cd)

11) 设为连续函数,则等于( )

(ab) (cd)

12) 设均为可微函数,且在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是( )

(a)若 (b)若。

(c)若 (d)若。

13) 设均为维列向量,是矩阵,下列选项正确的是( )

a)若线性相关,则线性相关。

(b)若线性相关,则线性无关。

(c)若线性无关,则线性相关。

d)若线性无关,则线性无关。

14) 设为3阶矩阵,将的第2行加到第1行得,再将的第1列的-1倍加到第2列得,记,则( )

ab) (cd)

三、解答题:15-23小题,共94分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15)(本题满分10分)

试确定常数的值,使得,其中是当时比高阶的无穷小。

16)(本题满分10分)

求。17)(本题满分10分)

设区域,计算二重积分

18)(本题满分12分)

设数列满足,

(i) 证明存在,并求该极限ii) 计算。

19)(本题满分10分)

证明:当时,.

20)(本题满分12分)

设函数内具有二阶导数,且满足等式。

i)验证ii)若, 求函数。

21)(本题满分12分)

已知曲线的方程。

i) 讨论的凹凸性;

ii) 过点引的切线,求切点,并写出切线的方程;

iii) 求此切线与(对应的部分)及轴所围成的平面图形的面积。

(22)(本题满分9分)

已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解。

i) 证明此方程组系数矩阵的秩; (求的值及方程组的通解。

23)(本题满分9分)

设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解。

i) 求的特征值与特征向量;

ii) 求正交矩阵和对角矩阵,使得。

2023年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析。

一、填空题。

1)【答案】

详解】 由水平渐近线的定义及无穷小量的性质---无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量”可知。

时为无穷小量,,均为有界量。 故,是水平渐近线。

2)【答案】

详解】按连续性定义,极限值等于函数值,故。

注:型未定式,可以采用洛必达法则;等价无穷小量的替换。

3)【答案】

详解】4) 【答案】.

详解】分离变量,5)【答案】

详解】题目考察由方程确定的隐函数在某一点处的导数。

在原方程中令。

将方程两边对求导得,令得。

(6) 【答案】

详解】由已知条件变形得, ,两边取行列式, 得。

其中,因此,.

二、选择题。

7)【答案】

详解】方法1: 图示法。

因为则严格单调增加;因为则是凹函数,又,画的图形。

结合图形分析,就可以明显得出结论:.

方法2:用两次拉格朗日中值定理。

前两项用拉氏定理)

再用一次拉氏定理)

其中。由于,从而。 又由于,故选。

方法3: 用拉格朗日余项一阶泰勒公式。 泰勒公式:

其中。 此时取1代入,可得。

又由,选。8)【答案】()

详解】方法1:赋值法

特殊选取,满足所有条件,则。

它是连续的偶函数。 因此,选()

方法2:显然在任意区间上可积,于是处处连续,又。

即为偶函数 . 选 ()

9)【答案】()

详解】利用复合函数求导法。

两边对求导。

将代入上式, .故选().

10)【答案】()

详解】题目由二阶线性常系数非齐次方程的通解,反求二阶常系数非齐次微分方程,分两步进行,先求出二阶常系数齐次微分方程的形式,再由特解定常数项。

因为是某二阶线性常系数非齐次方程的通解,所以该方程对应的齐次方程的特征根为1和-2,于是特征方程为,对应的齐次微分方程为。

所以不选()与(),为了确定是()还是(),只要将特解代入方程左边,计算得,故选().

11) 【答案】

详解】记,则区域的极坐标表示是: ,题目考察极坐标和直角坐标的互化问题,画出积分区间,结合图形可以看出,直角坐标的积分范围(注意与在第一象限的交点是),于是

所以,原式。 因此选。

12) 【答案】

详解】方法1: 化条件极值问题为一元函数极值问题。

已知,由,在邻域,可确定隐函数,满足,。

是在条件下的一个极值点是的极值点。它的必要条件是。

若,则,或,因此不选,.

若,则(否则). 因此选。

方法2:用拉格朗日乘子法。 引入函数,有。

因为,所以,代入(1)得。

若,则,选。

13) 【答案】a

详解】方法1:若线性相关, 则由线性相关定义存在不全为的数使得

为了得到的形式,用左乘等式两边, 得。

于是存在不全为的数使得成立,所以线性相关。

方法:如果用秩来解,则更加简单明了。 只要熟悉两个基本性质, 它们是:

1.线性相关;2..

矩阵, 设, 则由得。 所以答案应该为().

14) 【答案】

详解】用初等矩阵在乘法中的作用(矩阵左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵进行初等行变换或列变换)得出。

将的第2行加到第1行得,即

将的第1列的-1倍加到第2列得,即。

因为,故。

从而 ,故选().

三、解答题。

15) 【详解】

方法1:用泰勒公式。

将代入题设等式整理得。

比较两边同次幂函数得,由此可解得 ,,

方法2: 用洛必达法则。 由。

要求分子极限为0,即,否则。

要求分子极限为0,即,否则。

所以。解得。

16)【详解】题目考察不定积分的计算,利用变量替换和分部积分的方法计算。

所以 17)【详解】积分区域对称于轴,为的奇函数,从而知

所以 18) 【详解】(i) 由于时,,于是,说明数列单调减少且。 由单调有界准则知存在。记为。

递推公式两边取极限得。

ii) 原式,为“”型。

因为离散型不能直接用洛必达法则,先考虑。

所以 19) 【详解】令,只需证明单调增加(严格)

单调减少(严格),又,故时,则单调增加(严格)

得证。20) 【详解】(i)由于题目是验证,只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了。

同理 代入,得 ,所以成立。

ii) 令于是上述方程成为,则,即 ,所以。

因为,所以,得。

又因为,所以,得。

21)【详解】

方法1:计算该参数方程的各阶导数如下。

i) 所以曲线在处是凸的。

ii) 切线方程为,设,则

得 所以,切点为(2,3),切线方程为。

iii) 设l的方程, 则。

由。由于点(2,3)在l上,由。

所以 方法2:(i) 解出:由代入得。

于是, 曲线是凸的 .

ii)上任意点处的切线方程是,其中(时不合题意).

令,得 令,得 .

其余同方法1,得。

iii) 所求图形面积。

22) 【详解】(i)系数矩阵未知量的个数为,且又有三个线性无关解,设是方程组的3个线性无关的解, 则是的两个线性无关的解。 因为线性无关又是齐次方程的解,于是的基础解系中解的个数不少于2, 得, 从而。

又因为的行向量是两两线性无关的, 所以。 所以。

ii)对方程组的增广矩阵作初等行变换:

由, 得, 即。

所以作初等行变换后化为;,它的同解方程组。

中令求出的一个特解;

的同解方程组是。

取代入②得;取代入②得。 所以的基础解系为,

所以方程组的通解为:

为任意常数

23) 【详解】(i) 由题设条件,,故是的对应于的特征向量,又因为线性无关,故至少是的二重特征值。 又因为的每行元素之和为,所以有,由特征值、特征向量的定义,是的特征向量, 特征值为,只能是单根,是全体特征向量,从而知是二重特征值。

于是的特征值为;属于的特征向量:;属于的特征向量:,不都为。

ⅱ) 为了求出可逆矩阵必须对特征向量进行单位正交化 .

先将单位化, 得。

对作施密特正交化, 得, .

作, 则是正交矩阵,并且

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