2023年全国硕士研究生入学统一考试。
数学二试题。
一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。
1) 设，则。
2) 曲线的斜渐近线方程为。
4) 微分方程满足的解为。
5) 当时，与是等价无穷小，则。
6) 设均为3维列向量，记矩阵，如果，那么 .
二、选择题：7-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
7) 设函数，则在内 (
a) 处处可导b) 恰有一个不可导点。
c) 恰有两个不可导点d) 至少有三个不可导点。
8) 设是连续函数的一个原函数，表示“的充分必要条件是”，则必有 (
a)是偶函数是奇函数。 (b)是奇函数是偶函数。
c)是周期函数是周期函数。 (d)是单调函数是单调函数。
9) 设函数由参数方程确定，则曲线在处的法线与轴交点的横坐标是 (
a) .bc) .d
10) 设区域，为上的正值连续函数，为常数，则( )
ab). cd
11) 设函数， 其中函数具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有 (
(a) .b) (c) .d
12) 设函数则 (
a)，都是的第一类间断点。
b)，都是的第二类间断点。
c)是的第一类间断点，是的第二类间断点。
d)是的第二类间断点，是的第一类间断点。
13) 设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是 (
abc). d
14) 设为()阶可逆矩阵，交换的第1行与第2行得矩阵，分别为的伴随矩阵，则 (
a) 交换的第1列与第2列得。 (b) 交换的第1行与第2行得。
c) 交换的第1列与第2列得。 (d) 交换的第1行与第2行得。
三、解答题：15－23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15)(本题满分11分)
设函数连续，且，求极限。
16)(本题满分11分)
如图，和分别是和。
的图象，过点(0,1)的曲线是一单调增函数的图象。
过上任一点分别作垂直于轴和轴。
的直线和。 记与所围图形的面积为。
与所围图形的面积为如。
果总有，求曲线的方程。
17)(本题满分11分)
如图，曲线的方程为，点是它的一个拐点，直线与分别是曲线在点)与处的切线，其交点为。 设函数具有三阶连续导数，计算定积分。
18)(本题满分12分)
用变量代换化简微分方程，并求其满足的特解。
19)(本题满分12分)
已知函数在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且。 证明：
)存在使得；
)存在两个不同的点，使得。
20)(本题满分10分)
已知函数的全微分，并且。 求在椭圆域上的最大值和最小值。
21)(本题满分9分)
计算二重积分，其中。
22)(本题满分9分)
确定常数，使向量组可由向量组线性表示，但向量组不能由向量组线性表示。
23)(本题满分9分)
已知3阶矩阵的第一行是不全为零，矩阵(为常数)，且， 求线性方程组的通解。
2023年全国硕士研究生入学统一考试数学二。
试题解析。一、填空题。
1)【详解】先求出函数的导数，再求函数在某点的微分。
方法1：利用恒等变形得=，于是。
从而 =方法2：两边取对数，，对求导，得。
于是 ，故 =
2)【详解】由求斜渐近线公式(其中，)，得：
于是所求斜渐近线方程为。
3)【详解】通过还原变换求定积分。
方法1：令，则。
方法2：令，有所以有，其中。
4)【答案】
详解】求方程的解，有公式。
其中是常数).
将原方程等价化为 ，于是利用公式得方程的通解 , 其中是常数)
由得，故所求解为。
5)【详解】由题设，又因为 ，
所以 由题设时，所以，得。
6)【答案】2
详解】方法1：因为，故 =，记，两边取行列式，于是有。
方法2：利用行列式性质(在行列式中，把某行的各元素分别乘以非零常数加到另一行的对应元素上，行列式的值不变；从某一行或列中提取某一公因子行列式值不变)
又因为，故。
二、选择题。
7)【答案】c
详解】分段讨论，并应用夹逼准则，当时，有，命取极限，得，，由夹逼准则得；
当时，；当时，，命取极限，得，由夹逼准则得。
所以 再讨论的不可导点。 按导数定义，易知处不可导，故应选(c).
8)【答案】a
详解】 方法1：应用函数奇偶性的定义判定，函数的任一原函数可表示为，且。
当为偶函数时，有，于是，即，亦即，可见为奇函数；
反过来，若为奇函数，则，令，则有，所以 ，从而为偶函数，可见(a)为正确选项。
方法2：排除法，令， 则取， 排除(b)、(c);
令， 则取， 排除(d);
9)【答案】a
详解】当时，有，得(舍去，此时无意义)，曲线的导数为 ，所以曲线在(即)处的切线斜率为。
于是在该处的法线的斜率为， 所以过点的法线方程为。
令=0, 得其与轴交点的横坐标为：, 故应(a).
10)【答案】d
详解】由于积分区域是关于对称的， 所以与互换后积分值不变， 所以有。
应选(d).
11)【答案】b
详解】因为，于是，可见有，应选(b).
12)【答案】d
详解】由于函数在，点处无定义，因此是间断点。
且 ，所以为第二类间断点；，所以为第一类间断点，故应选(d).
13)【答案】b
详解】方法1：利用线性无关的定义。
分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有。
设有数，使得，则。
因，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故线性无关，则。
当时，方程只有零解，则，此时，线性无关；反过来，若，线性无关，则必然有(否则，与=线性相关)，故应选(b).
方法2：将向量组的表出关系表示成矩阵形式。
分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有。
由于 ，因，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，知线性无关。 若，线性无关，则，则。
故，从而，从而。
若，则，又线性无关，则。
则。从而，线性无关的充要条件是故应选(b).
方法3：利用矩阵的秩。
分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有。
因，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故线性无关，又，故，线性无关。
又因为 则(若，与矛盾)
方法4：利用线性齐次方程组。
分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有。
由，因不同特征值对应的特征向量必线性无关，故线性无关，线性无关。
线性无关。只有零解，又。
只有零解。线性无关时只有零解，故，只有零解，的系数矩阵是个可逆矩阵，故应选(b)
方法5：由，线性无关。
分别是特征值对应的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有。
向量组和向量组。 显然向量组可以由向量组线性表出；当时，不论的取值如何，向量组可以由向量组线性表出，
从而，是等价向量组当时，
14)【答案】(c)
详解】方法1：由题设，存在初等矩阵(交换阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得，(进行行变换，故左乘初等矩阵)，于是 ，又初等矩阵都是可逆的，故 ，又(行列式的两行互换，行列式反号)，，故。
即，可见应选(c).
方法2：交换的第一行与第二行得，即。
又因为是可逆阵，，故，所以可逆，且。
又，故，又因，故。
三、解答题。
15)【详解】 作积分变量代换，命，则 于是。而
所以由极限的四则运算法则得，原式。
16) 【详解】由题设图形知，在的左侧，根据平面图形的面积公式得，由，得
注意到是的点，于是
两边对求导得 ，
整理上面关系式得函数关系为：
17)【详解】由直线过和两点知直线的斜率为2. 由直线是曲线在点(0,0)的切线，由导数的几何意义知。 同理可得。 另外由点(3,2)是曲线的一个拐点知。
由分部积分公式，18)【详解】 由题设，有，由复合函数求导的链式法则得，代入原方程，化简得，其特征方程为，特征根， 通解为。
所以 ，将初始条件代入得，，即。
而 ，将代入得，即。
将代入通解公式得满足条件的特解为。
19)【详解】
) 令，则在[0，1]上连续，且， ,于是由闭区间连续函数的介值定理知，存在使得，即。
) 在和上对分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，
于是 20)【详解】由知。对两边积分得。 将代入得。 所以。 所以。再由时知，. 于是所讨论的函数为。
求在中的驻点。 由得驻点，对应的。
讨论在的边界上的最值，有两个方法。
方法1：把代入的表达式，有。
命解得，对应的，
还要考虑的端点，对应的，
由比较大小，故。
对应于，)，对应于，)
方法2：用拉格朗日乘数法，作函数。
解方程组 由上面的第一个方程解得或：当时由最后一个方程解得；当是由第二个方程解得，这时由最后一个方程解得。 故解得4个可能的极值点。计算对应的值：
再与比较大小，结论同方法1.
21) 【详解】：为以为中心半径为1 的圆周，划分如下图为与。
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