2019考研数三真题及解析

发布 2022-06-12 04:11:28 阅读 6553

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上。)

1) 设商品的需求函数为,其中分别表示为需求量和**,如果商品需求弹性的绝对值大于1,则商品**的取值范围是。

2) 级数的收敛域为。

3) 交换积分次序。

4) 设为阶方阵,为阶方阵,且,则___

5) 将等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词science的概率为。

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内。)

1) 设,其中为连续函数,则等于。

ab) c) 0d) 不存在。

2) 当时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量。

ab) cd)

3) 设为矩阵,齐次线性方程组仅有零解的充分条件是。

a)的列向量线性无关b)的列向量线性相关。

c)的行向量线性无关d)的行向量线性相关。

4) 设当事件与同时发生时,事件必发生,则。

ab) cd)

5) 设个随机变量独立同分布,

则。a)是的无偏估计量b)是的最大似然估计量。

c)是的相合估计量(即一致估计量) (d)与相互独立。

三、(本题满分5分)

设函数问函数在处是否连续?若不连续,修改函数在处的定义使之连续。

四、(本题满分5分)

计算。五、(本题满分5分)

设,求,其中有二阶偏导数。

六、(本题满分5分)

求连续函数,使它满足。

七、(本题满分6分)

求证:当时,.

八、(本题满分9分)

设曲线方程。

1) 把曲线,轴,轴和直线所围成平面图形绕轴旋转一周,得一旋转体,求此旋转体体积;求满足的。

2) 在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积。

九、(本题满分7分)

设矩阵与相似,其中。

1) 求和的值。

2) 求可逆矩阵,使得。

十、(本题满分6分)

已知三阶矩阵,且的每一个列向量都是以下方程组的解:

1) 求的值; (2) 证明。

十一、(本题满分6分)

设分别为阶正定矩阵,试判定分块矩阵是否是正定矩阵。

十二、(本题满分7分)

假设测量的随机误差,试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率,并利用泊松分布求出的近似值(要求小数点后取两位有效数字).

附表]十三、(本题满分5分)

一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立,以表示同时需要调整的部件数,试求的数学期望和方差。

十四、(本题满分4分)

设二维随机变量的概率密度为。

1) 求随机变量的密度; (2) 求概率。

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分。)

1)【答案】

解析】根据,得**,又由得,按照经济学需求弹性的定义,有。

令,解得。所以商品**的取值范围是。

2)【答案】

解析】因题设的幂级数是缺项幂级数,故可直接用比值判别法讨论其收敛性。

首先当即时级数收敛。

当时,后项比前项取绝对值求极限有。

当,即当或时级数绝对收敛。

又当和时得正项级数,由级数:当时收敛;当时发散。

所以正项级数是发散的。

综合可得级数的收敛域是。

注:本题也可作换元后,按如下通常求收敛半径的办法讨论幂级数的收敛性。

相关知识点】收敛半径的求法:如果,其中是幂级数的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径。

3)【答案】

解析】这是一个二重积分的累次积分,改换积分次序时,先表成:原式由累次积分的内外层积分限确定积分区域:,即中最低点的纵坐标,最高点的纵坐标。

的左边界的方程是,即。

的右支,的右边界的方程是。

即的右半圆,从而画出的图形如图中的阴影部分,从图形可见,且。

所以。4)【答案】

解析】由拉普拉斯展开式,.

相关知识点】两种特殊的拉普拉斯展开式:设是阶矩阵,是阶矩阵,则

5)【答案】

解析】按古典概型求出基本事件总数和有利的基本事件即可。

设所求概率为,易见,这是一个古典型概率的计算问题,将给出的七个字母任意排成一行,其全部的等可能排法为7!种,即基本事件总数为,而有利于事件的样本点数为,即有利事件的基本事件数为4,根据古典概型公式。

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分。)

1)【答案】(b)

解析】方法1:为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,所以可应用洛必达法则。

故应选(b).

方法2: 特殊值法。

取,则。显然(a),(c),(d)均不正确,故选(b).

相关知识点】对积分上限的函数的求导公式:

若, ,均一阶可导,则。

2)【答案】(d)

解析】由于时, ,故是同阶无穷小,可见应选(d).

3)【答案】(a)

解析】齐次方程组只有零解。

由于的行秩的列秩,现是矩阵, ,即的列向量线性无关。故应选(a).

相关知识点】对齐次线性方程组,有定理如下:

对矩阵按列分块,有,则的向量形式为。

那么, 有非零解线性相关。

4)【答案】(b)

解析】依题意:由“当事件与同时发生时,事件必发生”得出,故。

由概率的广义加法公式推出。

又由概率的性质,我们得出。

因此应选(b).

5)【答案】(c)

解析】根据简单随机样本的性质,可以将视为取自方差为的某总体。

的简单随机样本,与是样本均值与样本方差。

由于样本方差是总体方差的无偏估计量,因此,否则若,则,.故不能选(a).

对于正态总体,与相互独立,由于总体的分布未知,不能选(d).同样因总体分布未知,也不能选(b).综上分析,应选(c).

进一步分析,由于样本方差是的一致估计量,其连续函数一定也是的一致估计量。

三、(本题满分5分)

解析】函数在处连续,则要求。

方法1:利用洛必达法则求极限,因为为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有。

而,故,所以在处不连续。

若令,则函数在处连续。

方法2:利用变量代换与等价无穷小代换,时,;.

求极限,令,则有。

以下同方法1.

四、(本题满分5分)

解析】用分部积分法:

其中为任意常数。

注:分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来。在做题的时候应该好好总结,积累经验。

相关知识点】分部积分公式:假定与均具有连续的导函数,则。

或者 五、(本题满分5分)

解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复合的。

由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求,再求。

由复合函数求导法,首先求,由题设 ,再对求偏导数,即得。

相关知识点】多元复合函数求导法则:如果函数都在点具有对及对的偏导数,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数。

在点的两个偏导数存在,且有。

六、(本题满分5分)

解析】两端对求导,得。记,有通解。

其中为任意常数。

由原方程易见,代入求得参数。从而所求函数。

相关知识点】一阶线性非齐次方程的通解为

其中为任意常数。

七、(本题满分6分)

解析】方法1:令,则。

因为在连续,所以在上为常数,因为常数的导数恒为0.

故,即。 方法2:令,则在上连续,在内可导,由拉格朗日中值定理知,至少存在一点,使得。

由复合函数求导法则,得 ,所以。由可得,当时,.

相关知识点】复合函数求导法则:

如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为。

或 .八、(本题满分9分)

解析】对于问题(1),先利用定积分求旋转体的公式求,并求出极限。问题(2)是导数在求最值中的应用,首先建立目标函数,即面积函数,然后求最大值。

1)将曲线表成是的函数,套用旋转体体积公式。

由题设知,得。

2) 过曲线上已知点的切线方程为,其中当存在时,设切点为,则切线方程为。

令,得,令,得。

由三角形面积计算公式,有切线与两个坐标轴夹的面积为。

因令得(舍去).

由于当时,;当时,.故当时,面积有极大值,此问题中即为最大值。

故所求切点是,最大面积为 .

相关知识点】由连续曲线、直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的旋转体体积为:.

九、(本题满分7分)

解析】因为,故可用相似矩阵的性质建立方程组来求解参数和的值。若。

则是的特征向量。求可逆矩阵就是求的特征向量。

1) 因为,故其特征多项式相同,即即。

由于是的多项式,由的任意性,令,得。 令,得。

由上两式解出与。

2) 由(1)知。

因为恰好是对角阵,所以马上可得出矩阵的特征值,矩阵的特征值是。

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