一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上。)
1) 设商品的需求函数为，其中分别表示为需求量和**，如果商品需求弹性的绝对值大于1,则商品**的取值范围是。
2) 级数的收敛域为。
3) 交换积分次序。
4) 设为阶方阵，为阶方阵，且，则___
5) 将等七个字母随机地排成一行，那么，恰好排成英文单词science的概率为。
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。)
1) 设，其中为连续函数，则等于。
ab) c) 0d) 不存在。
2) 当时，下面四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量。
ab) cd)
3) 设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充分条件是。
a)的列向量线性无关b)的列向量线性相关。
c)的行向量线性无关d)的行向量线性相关。
4) 设当事件与同时发生时，事件必发生，则。
ab) cd)
5) 设个随机变量独立同分布，
则。a)是的无偏估计量b)是的最大似然估计量。
c)是的相合估计量(即一致估计量) (d)与相互独立。
三、(本题满分5分)
设函数问函数在处是否连续？若不连续，修改函数在处的定义使之连续。
四、(本题满分5分)
计算。五、(本题满分5分)
设，求，其中有二阶偏导数。
六、(本题满分5分)
求连续函数，使它满足。
七、(本题满分6分)
求证：当时，.
八、(本题满分9分)
设曲线方程。
1) 把曲线，轴，轴和直线所围成平面图形绕轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体体积；求满足的。
2) 在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积。
九、(本题满分7分)
设矩阵与相似，其中。
1) 求和的值。
2) 求可逆矩阵，使得。
十、(本题满分6分)
已知三阶矩阵，且的每一个列向量都是以下方程组的解：
1) 求的值； (2) 证明。
十一、(本题满分6分)
设分别为阶正定矩阵，试判定分块矩阵是否是正定矩阵。
十二、(本题满分7分)
假设测量的随机误差，试求100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并利用泊松分布求出的近似值(要求小数点后取两位有效数字).
附表]十三、(本题满分5分)
一台设备由三大部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立，以表示同时需要调整的部件数，试求的数学期望和方差。
十四、(本题满分4分)
设二维随机变量的概率密度为。
1) 求随机变量的密度； (2) 求概率。
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。)
1)【答案】
解析】根据，得**，又由得，按照经济学需求弹性的定义，有。
令，解得。所以商品**的取值范围是。
2)【答案】
解析】因题设的幂级数是缺项幂级数，故可直接用比值判别法讨论其收敛性。
首先当即时级数收敛。
当时，后项比前项取绝对值求极限有。
当，即当或时级数绝对收敛。
又当和时得正项级数，由级数：当时收敛；当时发散。
所以正项级数是发散的。
综合可得级数的收敛域是。
注：本题也可作换元后，按如下通常求收敛半径的办法讨论幂级数的收敛性。
相关知识点】收敛半径的求法：如果，其中是幂级数的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径。
3)【答案】
解析】这是一个二重积分的累次积分，改换积分次序时，先表成：原式由累次积分的内外层积分限确定积分区域：,即中最低点的纵坐标，最高点的纵坐标。
的左边界的方程是，即。
的右支，的右边界的方程是。
即的右半圆，从而画出的图形如图中的阴影部分，从图形可见，且。
所以。4)【答案】
解析】由拉普拉斯展开式，.
相关知识点】两种特殊的拉普拉斯展开式：设是阶矩阵，是阶矩阵，则
5)【答案】
解析】按古典概型求出基本事件总数和有利的基本事件即可。
设所求概率为，易见，这是一个古典型概率的计算问题，将给出的七个字母任意排成一行，其全部的等可能排法为7!种，即基本事件总数为，而有利于事件的样本点数为，即有利事件的基本事件数为4,根据古典概型公式。
二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。)
1)【答案】(b)
解析】方法1:为“”型的极限未定式，又分子分母在点处导数都存在，所以可应用洛必达法则。
故应选(b).
方法2: 特殊值法。
取，则。显然(a),(c),(d)均不正确，故选(b).
相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：
若， ,均一阶可导，则。
2)【答案】(d)
解析】由于时， ,故是同阶无穷小，可见应选(d).
3)【答案】(a)
解析】齐次方程组只有零解。
由于的行秩的列秩，现是矩阵， ,即的列向量线性无关。故应选(a).
相关知识点】对齐次线性方程组，有定理如下：
对矩阵按列分块，有，则的向量形式为。
那么， 有非零解线性相关。
4)【答案】(b)
解析】依题意：由“当事件与同时发生时，事件必发生”得出，故。
由概率的广义加法公式推出。
又由概率的性质，我们得出。
因此应选(b).
5)【答案】(c)
解析】根据简单随机样本的性质，可以将视为取自方差为的某总体。
的简单随机样本，与是样本均值与样本方差。
由于样本方差是总体方差的无偏估计量，因此，否则若，则，.故不能选(a).
对于正态总体，与相互独立，由于总体的分布未知，不能选(d).同样因总体分布未知，也不能选(b).综上分析，应选(c).
进一步分析，由于样本方差是的一致估计量，其连续函数一定也是的一致估计量。
三、(本题满分5分)
解析】函数在处连续，则要求。
方法1:利用洛必达法则求极限，因为为“”型的极限未定式，又分子分母在点处导数都存在，所以连续应用两次洛必达法则，有。
而，故，所以在处不连续。
若令，则函数在处连续。
方法2:利用变量代换与等价无穷小代换，时，；.
求极限，令，则有。
以下同方法1.
四、(本题满分5分)
解析】用分部积分法：
其中为任意常数。
注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题，如果选择不当可能引起更繁杂的计算，最后甚至算不出结果来。在做题的时候应该好好总结，积累经验。
相关知识点】分部积分公式：假定与均具有连续的导函数，则。
或者 五、(本题满分5分)
解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数，重要的是要分清函数是如何复合的。
由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关，所以本题可以先求，再求。
由复合函数求导法，首先求，由题设 ,再对求偏导数，即得。
相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数都在点具有对及对的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数。
在点的两个偏导数存在，且有。
六、(本题满分5分)
解析】两端对求导，得。记，有通解。
其中为任意常数。
由原方程易见，代入求得参数。从而所求函数。
相关知识点】一阶线性非齐次方程的通解为
其中为任意常数。
七、(本题满分6分)
解析】方法1：令，则。
因为在连续，所以在上为常数，因为常数的导数恒为0.
故，即。 方法2：令，则在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点，使得。
由复合函数求导法则，得 ,所以。由可得，当时，.
相关知识点】复合函数求导法则：
如果在点可导，而在点可导，则复合函数在点可导，且其导数为。
或 .八、(本题满分9分)
解析】对于问题(1),先利用定积分求旋转体的公式求，并求出极限。问题(2)是导数在求最值中的应用，首先建立目标函数，即面积函数，然后求最大值。
1)将曲线表成是的函数，套用旋转体体积公式。
由题设知，得。
2) 过曲线上已知点的切线方程为，其中当存在时，设切点为，则切线方程为。
令，得，令，得。
由三角形面积计算公式，有切线与两个坐标轴夹的面积为。
因令得(舍去).
由于当时，；当时，.故当时，面积有极大值，此问题中即为最大值。
故所求切点是，最大面积为 .
相关知识点】由连续曲线、直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的旋转体体积为：.
九、(本题满分7分)
解析】因为，故可用相似矩阵的性质建立方程组来求解参数和的值。若。
则是的特征向量。求可逆矩阵就是求的特征向量。
1) 因为，故其特征多项式相同，即即。
由于是的多项式，由的任意性，令，得。 令，得。
由上两式解出与。
2) 由(1)知。
因为恰好是对角阵，所以马上可得出矩阵的特征值，矩阵的特征值是。
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