2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题。
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)
1) 设，其中均可微，则。
3) 若四阶矩阵与相似，矩阵的特征值为，则行列式。
4) 设随机变量的概率密度为。
若使得，则的取值范围是。
5) 假设随机变量在区间上服从均匀分布，随机变量。
则方差。二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。)
1) 设对任意的，总有，且，则( )
a)存在且一定等于零b)存在但不一定等于零。
c)一定不存在d)不一定存在。
2) 设函数在点处可导，则函数在点处不可导的充分条件是 (
ab) cd)
3) 设是四元非齐次线性方程组的三个解向量，且，表任意常数，则线性方程组的通解( )
a) (b) (c) (d)
4) 设为阶实矩阵，是的转置矩阵，则对于线性方程组和，必有 (
a)的解是的解，的解也是的解。
b)的解是的解，但的解不是的解。
c)的解不是的解，的解也不是的解。
d)的解是的解，但的解不是的解。
5) 在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度，电炉就断电，以表示事件“电炉断电”，而为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件等于事件( )
a) (b) (c) (d)
三、(本题满分6分)
求微分方程满足条件。
四、(本题满分6分)
计算二重积分，其中是由曲线和直线围成的区域。
五、(本题满分6分)
假设某企业在两个相互分割的市场上**同一种产品，两个市场的需求函数分别是。
其中和分别表示该产品在两个市场的**(单位：万元/吨)，和分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是，其中表示该产品在两个市场的销售总量，即。
1)如果该企业实行**差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和**，使该企业获得最大利润；
2)如果该企业实行**无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的**，使该企业的总利润最大化；并比较两种**策略下的总利润大小。
六、(本题满分7分)
求函数的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线。
七、(本题满分6分)
设求。八、(本题满分6分)
设函数在上连续，且，试证明：在内至少存在两个不同的点，使。
九、(本题满分8分)
设向量组，试问满足什么条件时，1)可由线性表出，且表示唯一？
2)不能由线性表出？
3)可由线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式。
十、(本题满分9分)
设有元实二次型。
其中为实数。试问：当满足条件时，二次型为正定二次型。
十一、(本题满分8分)
假设是来自总体的简单随机样本值。已知服从正态分布。
1)求的数学期望(记为);
2)求的置信度为0.95的置信区间；
3)利用上述结果求的置信度为0.95的置信区间。
十二、(本题满分8分)
设是二随机事件；随机变量。
试证明随机变量不相关的充分必要条件是相互独立。
2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析。
一、填空题。
1)【答案】
详解】根据复合函数的求导公式，有。
2)【答案】
详解】被积函数的分母中含有，且当时，，即被积函数属于无穷限的反常积分，只需先求不定积分，在令其上限趋于无穷。
3)【答案】24
详解】方法1：有相同的特征值：由矩阵是矩阵的逆矩阵，他们所有特征值具有倒数的关系，得有特征值由特征局矩阵为，得特征矩阵为可以看出与的特征值相差1 ，所以有特征值由矩阵的行列式等于其特征值得乘积，所有特征值的和等于矩阵主对角元素之和， 知
方法2 ：即存在可逆阵，使得。两边求逆得。又有四个不同的特征值，存在可逆矩阵，使。
其中。上式两边求逆得 ，
从而有。4)【答案】
详解】在给定概率密度条件下，有性质因此， (或)
因为时，；时，都是定值，因为，所以最可能的取值区间是包含在区间之内的区间，否则是不可能的。
当时， (或者，当时， )
所以，答案应该填或。
5)【答案】
详解】由于题中是离散型随机变量，其所取值的概率分别为和。
又由于是均匀分布，所以可以直接得出这些概率，从而实现由的概率计算过渡到的概率。
因此 所以
二、选择题。
1)【答案】d
详解】用排除法。
例1：设， 满足条件， 并且。
由夹逼准则知，，则选项与错误。
例2：设， 满足条件。
但是由于。有，极限不存在，故不选，所以选。
因为最终结论是“：不一定存在”,所以只能举例说明“可以这样”“可以那样”，无法给出相应的证明。
2)【答案】b
详解】方法1：排除法，用找反例的方式，满足，但在处可导；,满足，但当，在处可导；
d)：,满足但当，在处可导；
方法2：推理法。
由的条件， 则。所以1)
可见，在处可导的充要条件是，所以， 所以当时必不可导，选。
3)【答案】(c)
详解】因为是非齐次方程组的解向量所以我们有，故是的一个特解。
又(未知量的个数)，故的基础解系由一个非零解组成。 即基础解系的个数为1.
因为故是对应齐次方程组的基础解系，故的通解为。
4)【答案】(a)
详解】若是方程组的解，即，两边左乘，得，即也是方程组的解，即的解也是的解。
若是方程组的解，即，两边左乘得是一个向量，设，则。
故有， 从而有，即也是方程组的解。
5)【答案】c
详解】随机变量为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，事件表示事件“电炉断电”，即有两个温控器显示的温度不低于，此时必定两个显示较高的温度大于等于，即所以说断电事件就是。
三【详解】本题属于二阶常系数非齐次线性微分方程，对于二阶常系数非齐次线性微分方程得求解，首先需要求出对应的齐次微分方程的通解，再求出非齐次方程的特解，再利用线性方程解的解构，从而得到对应方程的通解。
本题对应的齐次微分方程为 ，其特征方程为 ，特征根为。 于是齐次方程的通解为
由于是特征方程的单根，所以设
求得 代入原方程，得 ，即。
约去，再比较等式左、右两边，得。
故得特解，非齐次方程的通解为
再由初始条件，得1)
由，得 (2)
联立(1)与(2)得
则满足初始条件的通解为。
四【详解】画出积分区域。 由被积函数的形式以及积分区域形状， 易见采用极坐标更为方便。
将曲线化为：，极坐标方程为，再区域是由曲线和直线围成的区域，于是，极半径，则。
令，有时；时，.
五【定理】简单极值问题(无条件极值)：设在开区域内可偏导，又根据实际问题可知，它在内有最大值或最小值，于是只需在的点中找到的最大值点或最小值点。
详解】记总利润函数为，总收益函数为，则总利润总收益总成本。
其中，，为销售总量。
1) 令解得。 而，故相应地。
在的范围内驻点唯一，且实际问题在范围内必有最大值，故在处为最大值。
2) 若两地的销售单价无差别， 即，于是， 得， 在此约束条件下求的最值，以下用两个方法：
方法1： 若求函数在条件的最大值或最小值，用拉格朗日乘数法：先构造辅助函数，然后解方程组。
所有满足此方程组的解中的是在条件的可能极值点，在可能极值点中求得最大值点或最小值点。
故用拉格朗日乘数法，其中，构造函数。
令。解得，在的范围内驻点唯一，且实际问题在范围内必有最大值，故在处为最大值。得。
方法2：由代入消去一个变量得。
这样就变成了简单极值问题(无条件极值)，按(1)的做法：令。
得为的唯一驻点。
当(说明在这个区间上函数单调递增)；当时(说明在这个区间上函数单调递减)
故，为的唯一极大值点，所以是最大值点，而， 故。
六【渐近线】水平渐近线：若有，则为水平渐近线；
铅直渐近线：若有，则为铅直渐近线；
斜渐近线：若有存在且不为，则为斜渐近线。
详解】原函数对求导，所以
令，得驻点。
列表。注：表示函数值大于0，表示函数值小于0；表示在这区间内单调递增；表示在这区间内单调递减。
所以由以上**可以得出函数的大概形状，有严格单调增的区间为与；严格单调减的区间为。为极小值，为极大值。
以下求渐近线。 通过对函数大概形状的估计，所以此函数无水平渐近线；同理，也没有铅直渐近线。 所以令。
所以，渐近线为及，共两条。
七【概念】幂级数的收敛半径：若，其中是幂级数的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径。
详解】先计算出积分的具体表达式，再求和。
则。考虑幂级数。
求出幂级数的和函数，代入即可得出答案，按通常求收敛半径的办法。
所以 得到本题中幂级数的收敛半径内，先微分再积分，在收敛域内幂级数仍收敛，有。
所以 以代入， 得。
即 .八【证明】
方法1：令，有由题设有。
又由题设，用分部积分，有。
由积分中值定理知，存在使。
因为，，所以推知存在使得。 再在区间与上对用罗尔定理，推知存在，使，即
方法2：由及积分中值定理知，存在，使。 若在区间内仅有一个零点，则在区间与内异号。 不妨设在内，在内。 于是由，有。
当时，，；当时，，仍有，得到：. 矛盾，此矛盾证明了在仅有1个零点的假设不正确，故在内至少有2个不同的零点。
九【详解】方法1：设方程组。
对方程组的增广矩阵作初等行变换，化成阶梯形矩阵，有。
1) 当时，. 方程组唯一解，即可由线性表出，且表出唯一。
2) 当，但时，方程组无解，不可由线性表出。
3) 当，且时，方程组有无穷多解，此时有。
得对应齐次方程组的基础解系为： (取自由未知量，回代得)，非齐次方程的一个特解是，故通解为。
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