2008数一。
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
1）设函数则的零点个数（ ）
解：、.解：
恒大于0，所以在上是单调递增的。
又因为，根据其单调性可知只有一个零点。
2）函数在点处的梯度等于（ ）
解；.解：由
所以。3）在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（ ）
解：.解：由可知其特征根为。
故对应的特征方程为。
所以所求微分方程为， 选。
4）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（ ）
若收敛，则收敛若单调，则收敛。
若收敛，则收敛若单调，则收敛。
解：5）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵。 若，则（ ）
不可逆，不可逆不可逆，可逆。
可逆，可逆可逆，不可逆。
解：选。分析：，
故均可逆。6）设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数为（ ）
解：选。分析：此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为，故的正特征值个数为1。
7）设随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ）
解：选。8）设随机变量，且相关系数，则（ ）
解：选（d）
用排除法。设，由，知道正相关，得，排除（a）（c）
由，得。排除（c）
故选择（d）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。
9）微分方程满足条件的解是。
解： 由所以，又，所以。
10）曲线在点处的切线方程为。
解：.解：设、，斜率，在处，，所以切线方程为，即。
11）已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为。
解：.由题意知的收敛域为，则的收敛域为。
所以的收敛域为。
12）设曲面是的上侧，则。
解： 13）设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，则的非零特征值为。
解：分析：
记可逆，故。
与有相同的特征值，，故非零的特征值为1。
14）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则。
解： 因为，所以，x 服从参数为1的泊松分布，所以。
三、解答题：15－23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15)（本题满分10分）
求极限。解：
16)（本题满分10分）
计算曲线积分，其中是曲线上从点到点的一段。
解： 17)（本题满分10分）
已知曲线，求曲线距离面最远的点和最近的点。
解；解： 得：
得： 18)（本题满分10分）
函数连续，，证明可导，且。
证 ：设获得增量，其绝对值足够小，使得，则（如图，图中）在处的函数值为：
由此得函数的增量。
再应用积分中值定理，即有等式。
这里，在与之间，把上式两端各除以，得函数增量与自变量的比值。
由于假设连续，而时，，因此。于是，令对上式两端取极限，左端的极限也应该等于，故的导函数存在，并且。
19)（本题满分10分）
用余弦级数展开，并求的和。
解：由为偶函数，则。对。所以。
取，得 所以
20)（本题满分11分）
是三维列向量，为的转置，为的转置。
1）证；（2）若线性相关，则。
解：①为三维列向量，则，
线性相关，不妨设，21）（本题满分11分）
设矩阵，现矩阵满足方程，其中，1）求证。
2）为何值，方程组有唯一解，求。
3）为何值，方程组有无穷多解，求通解。
解：①方程组有唯一解。
由，知，又，故。
记，由克莱姆法则知，方程组有无穷多解。
由，有，则。
故。的同解方程组为，则基础解系为，为任意常数。
又。故可取特解为。
所以的通解为为任意常数。
21）（本题满分9分）
设矩阵，现矩阵满足方程，其中，1）求证。
2）为何值，方程组有唯一解，求。
3）为何值，方程组有无穷多解，求通解。
22）（本题满分9分）
设随机变量与相互独立，概率分布为，概率密度为，记。
1）求。2）求的概率密度．
23）（本题满分9分）
是总体为的简单随机样本。记，
（1）证是的无偏估计量。
2）当时 ，求。
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