2020考研题。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1.当时，下列无穷小量中最高阶的是（ d ）
a. b. c. d.
2.设函数在区间内有定义，且，则（ c ）
a.当时，在处可导
b.当时，在处可导
c.当在处可导时，
d.当在处可导时，
3.设函数在点处可微，，，非零向量与[',altimg': w': 15', h': 31'}]垂直，则（ a ）
a. 存在 b. 存在
c. 存在 d. 存在
4.设为幂级数的收敛半径，是实数，则（ a ）
a. 当发散时， b.当收敛时，
c.当时，发散 d.当时，收敛。
5.若矩阵经过初等列变换化成，则（ b ）
a.存在矩阵，使得 b.存在矩阵，使得
c.存在矩阵，使得 d.方程组与同解
6.已知直线与直线相交于一点，记向量，则（ c ）
a.可由线性表示 b.可由线性表示
c.可由线性表示 d.线性无关。
7.设a，b，c为三个随机事件，且。
则a，b，c中恰有一个事件发生的概率为（ d ）
ab. c. d.
8.设为来自总体的简单随机样本，其中，[x\\end', altimg': w':
53', h': 21'}]表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得[\\sum\\limits_^}55\\end', altimg': w':
123', h': 69'}]的近似值为（ b ）
a. b. c. d.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
10.设，则。
11.若函数满足，且，则[^x\\enddx}='altimg': w': 130', h': 58'}]
12.设函数，则。
13.行列式。
14.设服从区间的均匀分布，，则。
三、解答题（本大题共9小题，共94分）
15.（10分）求函数的极值。
解：极小值
16. （10分）计算曲线积分，其中方向为逆时针方向。
解： 17（10分）设数列满足，，证明：当时，幂级数收敛，并求其和函数。
解 18.（10分）
设为曲面，的下侧，为连续函数，计算：
解： 19.（10分）
设函数在区间上具有连续导数，，，证明：
1）使得，2）若对任意的，，则。
20.（11分）
若二次型经正交变换化为二次型。
其中。1）求的值。
2）求正交矩阵。
解：（1）（2）
21.（11分）
设为2阶矩阵，，其中是非零向量且不是的特征向量。
1）证明为可逆矩阵。
2）若，求，并判断与是否相似于对角矩阵。
解：（2）22. （11分）设随机变量相互独立，其中与均服从标准正态分布，的概率分布为，[x_+\begin1x_\\endx_',altimg':
w': 180', h': 25'}]
1）求二维随机变量[x_,y\\end', altimg': w': 67', h':
24'}]的分布函数，结果用标准正态分布函数[x\\end', altimg': w': 53', h':
21'}]表示。
2）证明随机变量服从标准正态分布。
解：（1）[x,y\\end=\\left\\\fracφ\\beginx\\endφ\\beginy\\end+\\fracφ\\beginx\\end\\\fracφ\\beginx\\endφ\\beginy\\end+\\fracφ\\beginy\\end\\end\ight.',altimg':
w': 296', h': 124'}]
23. （11分）设某种元件的使用寿命的分布函数为。
t\\end=\\left\\1e^\\frac\\end^},t>00其它\\end\ight.',altimg': w': 264', h': 101'}]
其中为参数且大于零。
1）求概率[t>t\\end', altimg': w': 75', h':
21'}]与[t>s+t\\left|\\begint>t\\end\ight.\\end', altimg': w':
144', h': 21'}]其中。
2）任取个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为[,t_,,t_',altimg': w': 92', h': 23'}]若已知，求的最大似然估计值。
解：（1）[t>t\\end=e^\\frac\\end^}'altimg': w':
146', h': 37'}]t>s+t\\left|\\begint>t\\end\ight.\\end=e^\\begins+t\\end^}}altimg':
w': 241', h': 37'}]
2)[=sqrt[m]\\sum\\limits_^}altimg': w': 109', h': 83'}]
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