2024年全国硕士研究生入学统一考试。
数学(一)试卷。
一、选择题。
1)当时，与等价无穷小，则。
ab) cd)
(3)设函数在区间上的图形为。
则函数的图形为。
ab) cd)
4)设有两个数列，若，则。
a)当收敛时，收敛b)当发散时，发散。
(c)当收敛时，收敛d)当发散时，发散。
5)设是3维向量空间的一组基，则由基到基的过渡矩阵为。abcd)
6)设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为。abcd)
7)设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则。
a)0b)0.3
c)0.7d)1
8)设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为。
a)0b)1
c)2d)3
二、填空题。
9)设函数具有二阶连续偏导数，则。
10)若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为，则非齐次方程满足条件的解为。
11)已知曲线，则。
12)设，则。
13)若3维列向量满足，其中为的转置，则矩阵的非零特征值为。
14)设为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差。若为的无偏估计量，则。
三、解答题。
15)(本题满分9分)
求二元函数的极值。
16)(本题满分9分)
设为曲线与所围成区域的面积，记，求与的值。
17)(本题满分11分)
椭球面是椭圆绕轴旋转而成，圆锥面是过点且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成。
1)求及的方程。
2)求与之间的立体体积。
18)(本题满分11分)
1)证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得。
2)证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且。
19)(本题满分10分)
计算曲面积分，其中是曲面的外侧。
20)(本题满分11分)
设，1)求满足的。的所有向量，.
2)对(1)中的任意向量，证明无关。
21)(本题满分11分)
设二次型。1)求二次型的矩阵的所有特征值；
2)若二次型的规范形为，求的值。
22)(本题满分11分)
袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。
1)求。2)求二维随机变量概率分布。
23)(本题满分11 分)
设总体的概率密度为，其中参数未知，是来自总体的简单随机样本。
1)求参数的矩估计量。
2)求参数的最大似然估计量。
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