1. 如图为函数轴和直线分别交于点p、q，点n（0，1），若△pqn的面积为b时的点m恰好有两个，则b的取值范围为 ▲
解： 2. 已知⊙a：，⊙b:，p是平面内一动点，过p作⊙a、⊙b的切线，切点分别为d、e，若，则p到坐标原点距离的最小值为。
解：设，因为，所以，即，整理得：，这说明符合题意的点p在直线上，所以点到坐标原点距离的最小值即为坐标原点到直线的距离，为。
3. 等差数列各项均为正整数，，前项和为，等比数列中，，且，
是公比为64的等比数列．求与；
解：设的公差为，的公比为，则为正整数，
依题意有①由知为正有理数，故为的因子1，2，3，6之一，解①得故。
4. 在中，
1）求的值；
2）求面积的最大值．
解：（1）因为，所以，
又因为，所以。
2）设，由（1）知，又因为。
所以=≤，当且仅当时取“=”所以的面积最大值为．
5. 设等差数列的公差为，，数列是公比为等比数列，且．
1）若，，**使得成立时的关系；
2）若，求证：当时，.
解：记，则，……1分。
1）由已知得消去得，又因为，所以，所以，……5分。
若，则，舍去；……6分。
若，则，因此，所以（是正奇数）时，；…8分。
2）证明：因为，所以， …11分。
时， =所以，当16分。
6. 已知圆o：，o为坐标原点．
1）边长为的正方形abcd的顶点a、b均在圆o上，c、d在圆o外，当点a在圆o上运动时，c点的轨迹为e．
ⅰ）求轨迹e的方程；
ⅱ）过轨迹e上一定点作相互垂直的两条直线，并且使它们分别与圆o、轨迹e 相交，设被圆o截得的弦长为，设被轨迹e截得的弦长为，求的最大值．
（2）正方形abcd的一边ab为圆o的一条弦，求线段oc长度的最值．
解：1）（ⅰ连结ob，oa，因为oa=ob=1，ab=，所以，所以，所以，在中，所以轨迹e是以o为圆心，为半径的圆，所以轨迹e的方程为。
ⅱ）设点o到直线的距离分别为，因为，所以。则，则。
当且仅当，即时取“=”所以的最大值为。
2）设正方形边长为a，，则，．
当a、b、c、d按顺时针方向时，如图所示，在中，即。
由，此时；当a、b、c、d按逆时针方向时，在中，即。
由，此时，综上所述，线段oc长度的最小值为，最大值为．
7. 已知函数。
1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；
2）求证：恒成立的充要条件是；
3）若，且对任意，都有，求实数的取值范围。
另解：在上恒成立，设，只需。
8. 已知函数。
1）求证：函数必有零点；
2）设函数。
ⅰ）若在上是减函数，求实数的取值范围；
ⅱ）是否存在整数，使得的解集恰好是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
9. 已知函数，为正常数。
1）若，且，求函数的单调增区间；
2）若，且对任意，，都有，求的的取值范围。
解：（1）， 令，得，或，函数的单调增区间为，.
2）∵，设，依题意，在上是减函数。
当时，令，得：对恒成立，设，则，∵，在上是增函数，则当时，有最大值为，∴.
当时，令，得：，设，则，
在上是增函数，∴，综上所述，
10. （1）设，若对于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是。
2）若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是。解：（1）
11. 已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数α、β使得=对每一个正整数都成立，则。
12. 在直角坐标系平面内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称点对是函数的一个“友好点对”（点对与看作同一个“有好点对”）.
已知函数则函数的“友好点对”有个。
13. 已知的三边长满足，则的取值范围是。
解： 已知的三边长满足，则的取值范围是。
解： 14. 已知分别以为公差的等差数列， ,满足．
1）若，且存在正整数，使得，求的最小值；
2）若，且数列，的前项和满足。
求的通项公式。
解：（1）证明：,即， …4分。
等号当且仅当即时成立，故时， .7分。
（2），，10分。
13分。故得，因此的通项公式为。 …15分。
15. 已知函数．
1）当时，求函数的单调区间；
2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：m在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？
3）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数p的取值范围．
16. 如图，在△abc中，已知，，，是平分线。
1）求证：；
2）求的值。
1）在中，由正弦定理得①，在中，由正弦定理得②，
所以，由①②得，所以（2）因为，所以。
在△中，因为，所以。
17. 已知数列的前n项和为，数列是公比为2的等比数列。
1）证明：数列成等比数列的充要条件是；
2）设（），若对任意成立，求的取值范围。
18. 已知分别以和为公差的等差数列和满足，.
1）若，且存在正整数，使得，求证：；
2）若，且数列的前项和满足，求数列和的通项公式；
3）在（2）的条件下，令，且，问不等式是否对一切正整数都成立？请说明理由。
19. 若椭圆过点（-3，2），离心率为，⊙o的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙m的方程为，过⊙m上任一点p作⊙o的切线pa、pb，切点为a、b.
1）求椭圆的方程；
2）若直线pa与⊙m的另一交点为q，当弦pq最大时，求直线pa的直线方程；
3）求的最大值与最小值。
1）；（2）直线pa的方程为：
20. 已知集合，其中为正常数。
1）设，求的取值范围；
2）求证：当时，不等式对任意恒成立；
3）求使不等式对任意恒成立的取值范围。
21. 设函数，，且函数有三个互不相同的零点，且，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围。
解：薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。
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