一、填空题(本题满分15分，每小题3分。)
1)【答案】
解析】这是个函数的参数方程，满足参数方程所确定函数的微分法，即。
如果 , 则 .
所以 ,再对求导，由复合函数求导法则得。
2)【答案】
解析】这是求隐函数在某点的全微分，这里点的含义是。
将方程两边求全微分，由一阶全微分形式不变性得。
再由全微分四则运算法则得
令，得，即。
3)【答案】
解析】所求平面过直线，因而过上的点；
因为过平行于，于是平行于和的方向向量，即平行于向量和向量，且两向量不共线，于是平面的方程。
即。4)【答案】
解析】因为当时， ,当时，所以有。
所以 .因为当时，与是等价无穷小，所以，故。
5)【答案】.
解析】为求矩阵的逆可有多种办法，可用伴随，可用初等行变换，也可用分块求逆。根据本题的特点，若知道分块求逆法，则可以简单解答。
注意。对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：,则求的伴随矩阵。
如果，这样。
再利用分块矩阵求逆的法则：,易见。
二、选择题(本题共5个小题，每小题3分，满分15分。)
1)【答案】(d)
解析】由于函数的定义域为，所以函数的间断点为，所以为铅直渐近线，所以为水平渐近线。
所以选(d).
相关知识点】铅直渐近线：如函数在其间断点处有，则是函数的一条铅直渐近线；
水平渐近线：当，则为函数的水平渐近线。
2)【答案】(b)
解析】令，则，所以。
两边对求导，得，这是一个变量可分离的微分方程，即。解之得，其中是常数。
又因为，代入，得，得。
即。3)【答案】(c)
解析】因为
收敛级数的结合律与线性性质),所以。
而 故应选(c).
4)【答案】(a)
解析】如图，将区域分为四个子区域。
显然，关于轴对称，关于轴对称。
令 ,由于对及对都是奇函数，所以。
而对是偶函数，对是奇函数，故有。
所以 ,故选(a).
5)【答案】(d)
解析】矩阵的乘法公式没有交换律，只有一些特殊情况可以交换。
由于、、均为阶矩阵，且，对等式两边取行列式，据行列式乘法公式。
得到、、,知、、均可逆，那么，对于，先左乘再右乘有 ,故应选(d).
其实，对于先右乘再左乘，有。
三、(本题满分15分，每小题5分。)
1)【解析】这是型未定式求极限。
令，则时，所以。
所以 .因为当时， ,所以。
故。2)【解析】先求方向的方向余弦，再求，最后按方向导数的计算公式。
求出方向导数。
曲面在点处的法向量为。
在点处指向外侧，取正号，并单位化得
又 ,所以方向导数。
3)【解析】由曲线绕轴旋转一周而围成的旋转面方程是。
于是，是由旋转抛物面与平面所围成。曲面与平面的交线是。
选用柱坐标变换，令，于是。
因此 四、(本题满分6分)
解析】曲线，则，所以。
对关于的函数两边对求导数，其中，并令得。
所以， 且 .
故为函数的极小值点，也是最小值点。故所求的曲线为。
五、(本题满分8分。)
解析】按傅式级数公式，先求的傅式系数与。因为偶函数，所以。
因为在区间上满足狄利克雷收敛定理的条件，所以。
令，有，所以，.
又 ,所以， ,即 .
六、(本题满分7分。)
解析】由定积分中值定理可知，对于，在区间上存在一点使得。
即。由罗尔定理可知，在区间内存在一点，使得。
七、(本题满分8分)
解析】设，按分量写出，则有。
对方程组的增广矩阵作初等行变换：
第一行分别乘以有、加到第三行和第四行上，再第二行乘以、加到第三行和第四行上，有。
所以，当时， ,方程组无解。即是不存在使得。
成立，不能表示成的线性组合；
当时，方程组有唯一解，故有唯一表达式，且。
相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设是矩阵，线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即是(或者说，可由的列向量线表出，亦等同于与是等价向量组).
设是矩阵，线性方程组，则。
1) 有唯一解
2) 有无穷多解
3) 无解。
不能由的列向量线表出。
八、(本题满分6分)
解析】方法1：因为为阶正定阵，故存在正交矩阵，使。
其中，是的特征值。
因此。两端取行列式得，从而 .
方法2：设的个特征值是由于为阶正定阵，故特征值全大于0.
由为的特征值可知，存在非零向量使，两端同时加上，得。按特征值定义知是的特征值。因为的特征值是它们全大于1,根据，知。
相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设是阶矩阵，若存在数及非零的维列向量使得成立，则称是矩阵的特征值，称非零向量是矩阵的特征向量。
九、(本题满分8分)
解析】曲线在点处的法线方程为。
(当时),它与轴的交点是，从而。
当时，有，上式仍然成立。
因此，根据题意得微分方程。
即。这是可降阶的高阶微分方程，且当时，.
令，则，二阶方程降为一阶方程，即。
即，为常数。
因为当时， ,所以，即，所以。分离变量得。
令，并积分，则上式左端变为。
因曲线在上半平面，所以，即。
故 .当时，
当前取+时， ,
当前取时， ,所以 .
十、填空题(本题满分6分，每小题3分。)
1)【解析】一般说来，若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率，应该已知分布的两个参数和，否则应先根据题设条件求出， ,再计算有关事件的概率，本题可从。
通过查表求出，但是注意到所求概率即是与之间的关系，可以直接由的值计算出。
因为，所以可标准化得 ,由标准正态分布函数概率的计算公式，有。
由正态分布函数的对称性可得到 .
2)【解析】设事件=“掷的点和原点的连线与轴的夹角小于”,这是一个几何型概率的计算问题。由几何概率公式。
而，故 .十一、(本题满分6分)
解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分，所以有。
当时，.因为在直线的下方。
与(即第一象限)没有公共区域，所以。
当时，在直线。
的上方与第一象限相交成一个三角形区域，此即为积分区间。
所以的分布函数。
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