《考研数学试卷》2011高数部份。
一、 填空题。
2011.二。9.4]
2011.三9.4]设，则。
2011.三12.4]曲线，直线及轴所围的平面图形饶轴旋转所成的旋转体的体积为。
2011.一二。10.4]微分方程满足条件的解为。
2011.一。11.4]设函数，则 4
2011.三10.4]设函数，则。
2011.二。12.4]设函数，则。
2011.一。9,二。11.4]曲线的弧长为。
2011.二。13.4]设平面区域由直线，圆及轴所围成，则二重积分。
2011.三11.4]曲线在点处的切线方程为。
2011.一。12.4]设是柱面与平面的交线，从轴正向往轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分。
二、 单项选择题。
2011.一。1.4]曲线的拐点是（c）
a. b. c. d.
2011.一。2.4]设数列单调减少，无界，则幂级数的收敛域为（c）
a. b. c. d.
2011.二三。2.4]设函数在处可导，且，则（b ）
a. b. c. d. 0
2011.三3.4]设是数列，则下列命题是正确的是（ a ）
a. 若收敛，则收敛 b. 若收敛，则收敛。
c. 若收敛，则收敛 d. 若收敛，则收敛。
2011.一。3.4]设函数具有二阶连续导数，且，则函数在点取得极小值的一个充分条件是（a）
a. b.
c. d.
2011.二三。1.4]已知当时，函数与是等价无穷小，则（ c ）
a. b. c. d.
2011.二。3.4]函数的驻点的个数为（ c ）
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3
2011.二4.4微分方程的特解形式为（ c ）
a. b. c. d.
2011.一三4,二。5.4]设，则的大小关系为（ b ）
a. b. c. d.
三、 解答题
2011.二15.10]已知函数。设，求的取值范围。
解因为。由题意，得，又因为。
得。综上所述。
2011.二16.11]设函数有参数方程确定，求的极值和曲线的凹凸区间和拐点。
解令，得。当时，当时。
令，得，即。
列表如下：由此可知，函数的极大值为，极小值为。
曲线的凹区间为，凸区间为。
由于，所以曲线的拐点为。
2011.三15.9]求极限。
解原式。2011.二21.11]已知函数具有二阶连续偏导数，且，其中。,计算二重积分。
解因为，所以。
从而。2011.一。17.10]求方程不同实根的个数，其中为参数
解令，则是上的奇函数，且，当即时， 在内单调减少，方程只有一个实根。
当即时，在内单调增加；在内单调减少，所以是在内的最大值。
由于，所以；又因为，所以存在，使得。
由是奇函数，从而当时，方程有且仅有三个不同的实根。
2011.三19.10]设函数在区间上具有连续导数，,且满足，其中，求的表达式。 解 又。
由题设有。两边求导整理得，解得。
代入，得，故。
2011.一。16.9 ]设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值。求。
解由题意。因为，所以。
2011.二17.9]设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值，.求。
解由题意。因为。
所以。2011.二18.10]设函数具有二阶导数，且曲线与直线相切于原点，记为曲线在点处切线的倾角，若，求的表达式。
解由于，即，所以。
于是有，即。
令，则，代入得。
分离变量得，两边积分得。
由题意，即当时，代入得，于是有，两边积分得。
由得。所以。
2011.三16.10]已知函数具有二阶连续偏导数，是的极值，.求。
解 由题意知。
从而。2011.二20.11]一容器的内侧是由图(略)中曲线绕轴旋转一周而成的曲面，该曲线由与连接而成的外围线。
1)求容器的容积； (2)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：米，)
解 (1)由对称性，所求的容积为(立方米)
2)所求的功为。
焦耳)2011.一。19.11] 已知函数具有二阶连续偏导数，且，其中，计算二重积分。
解因为，所以，从而。
2011.一。18.二19.10](1)证明：对任意的正整数，都有。
2)设，证明数列收敛。
证 (1)根据拉格朗日中值定理，存在，使得，所以。
2)当时由(1)知。
且，所以数列单调下降且有下界，故收敛。
2011.一。15.10]求极限。
解当时。当时。
同样可得，原式。 从而综合可得，原式。
2011.三17.10]求不定积分。
解原式。2011.三18.10]证明方程恰有两个实根。
证设，则。令，解得驻点。
由单调性判别法知：在上单调减少，在上单调增加，在上单调减少。
因为，且由上述单调性可知是在上的最小值，所以是函数在上的唯一的零点。
又因为，且，所以由连续函数的介值定理知在上存在零点，且由在上单调减少知零点唯一。
综上所述，在上恰有两个零点，即原方程恰有两个实根。
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