2023年上海市高考数学试题（理科）
一。填空题（56分）
1.函数的反函数为。
测量目标】反函数．
考查方式】直接利用函数的表达式，解出用表示的式子，即可得到答案．
难易程度】容易。
参***】试题解析】设，可得， （步骤1），可得，将、互换得． （步骤2）
原函数的值域为，∴.步骤3）
2.若全集，集合，则。
测量目标】集合的基本运算（补集）.
考查方式】集合的表示法（描述法）求集合的补集。
难易程度】容易。
参***】试题解析】∵集合。
3.设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则。
测量目标】双曲线的简单几何性质。
考查方式】利用双曲线标准方程中的分母与焦点（非零坐标）的关系，列出关于的方程，通过解方程求出的值．
难易程度】容易。
参***】16
试题解析】由于点是双曲线的一个焦点，故该双曲线的焦点在轴上，从而．
从而得出+9=25，解得=16．
4.不等式的解为。
测量目标】解一元二次不等式。
考查方式】通过移项解一元二次不等式。
难易程度】容易。
参***】或。
试题解析】原不等式同解于，同解于，即，解得。
或。5.在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为。
测量目标】简单曲线的极坐标方程。
考查方式】先转换得到直角坐标系，再利用直线的直角坐标方程求出它们的夹角即可．
难易程度】容易。
参***】试题解析】∵，转化到直角坐标系得到：与=1. （步骤1）
与=1夹角的正切值为， （步骤2）
直线与直线的夹角大小为。(步骤3)
6.在相距2千米的、两点处测量目标，若，则、两点之间的距离是千米。
测量目标】解三角形的实际应用。
考查方式】用三角形内角和求得，进而表示出，进而在中，表示出和的关系求得。
难易程度】容易。
参***】试题解析】由点向作垂线，垂足为，设， （步骤1），∴
. （步骤2）
在中， （步骤3）
千米）. 步骤4）
第6题图 7.若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为。
测量目标】柱、锥、台、球的体积。
考查方式】求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥体积．
难易程度】容易。
参***】试题解析】根据题意，圆锥的底面面积为，则其底面半径是1，底面周长为2.（步骤1）
又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高。 （步骤2）
所以圆锥的体积。 （步骤3）
8.函数的最大值为。
测量目标】三角函数的最值。
考查方式】利用诱导公式和积化和差公式对解析式化简，进而根据正弦函数的值域求得函数的最大值．
难易程度】容易。
参***】试题解析】==
9.马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表。
请小牛同学计算的数学期望，尽管“!”处无法完全看清，且两个“?”处字迹模糊，但能肯定这两个“?”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案。
测量目标】离散型随机变量的期望与方差．
考查方式】，然后根据期望求法即可求得结果。
难易程度】容易。
参***】2
试题解析】设
则。10.行列式（）的所有可能值中，最大的是。
测量目标】矩阵与行列式。
考查方式】按照行列式的运算法则，化简得，再根据条件进行分析计算，比较可得其最大值．
难易程度】容易。
参***】6
试题解析】，∴的最大值是：22=4，的最小值是：，的最大值是6．
11.在正三角形中，是上的点，，则。
测量目标】平面向量在平面几何中的应用。
考查方式】把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则即可求得的值．
难易程度】容易。
参***】试题解析】∵,是上的三等分点， （步骤1）, 步骤2）
. （步骤3）
12.随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是默认每月天数相同，结果精确到）.
测量目标】古典概型。
考查方式】先求事件发生总数，再求出所求事件的对立事件总数，继而得到结果。
难易程度】容易。
参***】试题解析】事件发生总数为，至少有2位同学在同一个月出生的对立事件是没有人生日在同一个月，共有种结果，要求的事件的概率是。
13.设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为。
测量目标】函数的周期性；函数的值域。
考查方式】根据题意条件，研究函数的性质，得，由此关系求出函数值域。
难易程度】容易。
参***】试题解析】由题意在上成立， 故。
所以，由此知自变量增大1，函数值也增大1
故在上的值域为。
14.已知点、和，记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足；记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足；依次下去，得到点，则 .
测量目标】数列的极限与运算。
考查方式】由题意推导下去，则中必有一点在的左侧，一点在右侧，然后退出的极限，继而求出结果。
难易程度】中等。
参***】试题解析】由题意，所以第一次只能取一条，．依次下去，则中必有一点在的左侧，一点在右侧，由于是中点，根据题意推出，，的极限为：，所以。
二、选择题（20分）
15.若，且，则下列不等式中，恒成立的是。
abcd.
测量目标】基本不等式。
考查方式】根据基本不等式使用条件和定义逐个排除得到结果．
难易程度】容易。
参***】d
试题解析】对于a，所以a错；
对于b，c，虽然，只能说明，同号，若，都小于0时，所以b，c错。
∴，故选d.
16.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为。
abcd.
测量目标】函数单调性的判断；函数奇偶性的判断。
考查方式】再结合偶函数的定义判断出为偶函数；求出导函数判断出导函数的符号，判断出函数的单调性．
难易程度】容易。
参***】a
试题解析】对于，函数的定义域为且，（步骤1）
将用代替，解析式不变，所以是偶函数。 （步骤2）
当时，， 在区间上单调递减的函数，故选a． （步骤3）
17.设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为 （
a.0b.1c.5d.10
测量目标】向量的线性运算。
考查方式】把的坐标用其他5个点的坐标表示出来，进而判断的坐标、的解的组数，进而转化可得答案。
难易程度】容易。
参***】b
试题解析】根据题意，设的坐标为，、解得组数即符合条件的点的个数，再设的坐标依次为，，，
若成立，则，；
只有一组解，即符合条件的点有且只有一个；故选b．
18.设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为 （
a． 是等比数列。
b． 或是等比数列。
c． 和均是等比数列。
d． 和均是等比数列，且公比相同。
测量目标】充分、必要条件；等比数列的性质。
考查方式】结合等比数列的性质，先判断必要性，再判断充分性得到结果。
难易程度】容易。
参***】d
试题解析】依题意可知，∴，步骤1）
若为等比数列则（为常数），则和均是等比数列，且公比均为； （步骤2）
反之要想为等比数列则需为常数，即需要和均是等比数列，且公比相等；（步骤3）
故为等比数列的充要条件是和均是等比数列，且公比相同．
故选d步骤4）
三、解答题（74分）
19.（12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。
测量目标】复数代数形式的运算．
考查方式】利用复数的除法运算法则求出，设出复数；利用复数的乘法运算法则求出；利用当虚部为0时复数为实数，求出．
难易程度】中等。
试题解析】 （步骤1）
设，则，（步骤2），a=4∴ （步骤3）
20.（12分）已知函数，其中常数满足。
若，判断函数的单调性；
若，求时的取值范围。
测量目标】函数单调性的判断。
考查方式】先把分为与两种情况，然后根据指数函数的单调性即可作出判断；把分为与两种情况；然后由化简得，最后由指数函数的单调性求出的取值范围．
难易程度】中等。
试题解析】⑴ 当时，任意，则。 （步骤1），，函数在上是增函数。 （步骤2）
当时，同理，函数在上是减函数。 （步骤3）
（步骤4）
当时，，则； （步骤5）
当时，，则。 （步骤6）
21.（14分）已知是底面边长为1的正四棱柱，是和的交点。
设与底面所成的角的大小为，二面角的大小为。
求证：； 若点到平面的距离为，求正四棱柱的高。
第21题图
测量目标】空间直角坐标系；点、线、面间的距离公式。
考查方式】利用线面角及二面角的定义求出，；
借助面面垂直找到点在平面的位置，利用三角形的相似解出．
难易程度】中等。
试题解析】（1）设正四棱柱的高为。
连，底面于。
2019届高考数学理科模拟试卷
2010年福建省高考模拟试卷。数学试题 理科 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 第 卷第21题为选考题，其他题为必考题 本试卷共5页 满分150分，考试时间120分钟 命题人 吴育文。作者简介 吴育文厦门外国语学校毕业生，现东北大学秦皇岛分校大一学生 审核人 厦门市东山中学陈海峰推荐人 安...
2023年北京高考数学理科答案
20 解 1 由题意可知，2 先用反证法证明 若则，同理可知，由题目所有数和为即 与题目条件矛盾 易知当时，存在 的最大值为1 3 的最大值为。首先构造满足的 经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且。下面证明是最大值。若不然，则存在一个数表，使得。由的定义知的每一列两个数之和的绝...
2023年高考数学理科测试卷
c f x sin2x x d f x sin2x x 7 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的。s的值为。a 1 b c d 8 设 a0 a1x a2x2 a10x10 则a9 a 0b 410 c 10410d 90410 9 设若 2 x 2，2 y 2，则z的最小值为。a 4 b 2 ...