一、将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式：
1)有理数范围； (2)实数范围 (3)复数范围．
[key]
二、半径为的三个圆两两外切．证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形．
[key] 二、证明：设⊙o1、⊙o2、⊙o3的半径分别为．
因这三个圆两两外切，故有。
o1o2=1+2=3，o2o3=2+3=5，o1o3=1+3=4，根据勾股弦定理的逆定理，或余弦定理，△o1o2o3为直角三角形．
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三、用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点．
[key] 三、证明：取△abc最长的一边bc所在的直线为x轴，经过a的高线为y轴，设a、b、c的坐标分别为a(0，a)、b(b，0)、c(c，0)，根据所选坐标系，如图，有a>0，b<0，c>0．
解(1)、(2)，得：(b-c)x=0．
b-c≠0，∴x=0．
这就是说，高线ce、bd的交点的横坐标为0，即交点在高线ao上．
因此，三条高线交于一点．
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a、b、n都是正数，a≠1，b≠1)
[key] 四、证法一：令logbn=x，根据对数定义，bx=n．
两端取以a为底的对数，logabx=logan，xlogab=logan．
b≠1，∴logab≠0，证法二：令logbn=x，根据对数定义，n=bx
(alogab)x=axlogab， xlogab=logan．
b≠1，logab≠0，五、直升飞机上一点p在地平面m上的正射影是a．从p看地平面上一物体b(不同于a)，直线pb垂直于飞机窗玻璃所在的平面n(如图)．证明：平面n必与平面m相交，且交线l垂直于ab．
[key] 五、证明：用反证法．假如平面n与平面m平行，则pa也垂直于n，因此pa与pb重合，b点与a点重合，但这与题设矛盾，所以平面n与平面m相交．
设平面n与平面m的交线为l．
pa⊥平面m，∴pa⊥l．
又∵pb⊥平面n，∴pb⊥l．
l⊥平面pab，∴l⊥ab．
1)写出f(x)的极大值m、极小值m与最小正周期t;
2)试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是m与一个值是m．
[key] 六、解：(1)m=1，m=-1，2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是m与一个值是m．
而任意两个整数间的距离都≥1．因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是m与一个值是m，必须且只须使f(x)的周期≤1．
可见，k=32就是这样的最小正整数．
七、cd为直角三角形abc中斜边ab上的高，已知△acd、△cbd、△abc的面积成等比数列，求∠b(用反三角函数表示)．
[key] 七、解法一：设cd=h，ab=c，bd=x，则 ad=c-x．
即x2=c(c-x)，即x2+cx-c2=0，取负号不合题意，又依直角三角形的性质，有。
ac2=ad·ab=c(c-x)．
但x2=c(c-x)，∴ac2=x2，解法二：由题设有(cd·bd)2=(cd·ad)·(cd·ab)，bd2=ad·ab．
但 ac2=ad·ab，bd=ac．
[key]
两端乘以正数sin，问题化为证明。
2sinsin2≤1+cos．
而2sinsin2=4sin2cos=4(1-cos2)cos
4(1-cos)(1+cos)cos．
所以问题又化为证明不等式。
1+cos)[4(1-cos)cos-1]≤0．
8t2(1-t2)≤(1+t2)2，即 -9t4+6t2-1≤0，-(3t2-1)2≤0．
不等式成立．
九、抛物线的方程是y2=2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动．问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直．
[key] 九、解：设圆的方程为。
(x-k)2+y2=1．
再设圆与抛物线的一个交点为p(x0y0)．
在p点抛物线的切线与圆的切线垂直，必须且只须圆的半径与抛物线在p点相切．
由(1)、(2)式消去y0，得x0=-k，将(2)代入(3)，得(x0-k)2+2x0-1=0，将x0=-k代入，得 4k2-2k-1=0，由于对称性，圆与抛物线的另一交点 (x0，-y0)处的切线也互相垂直．
附加题。问a、b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，直线(l)与椭圆(e)总有公共点．
[key] 附加题。
解法一：消去参数，得。
消去y，整理得。
(1+a2m2)x2+2(a2mb-1)x+a2b2-a2+1=0．
a2mb-1)2-(1+a2m2)(a2b2-a2+1)≥0．
化简并约去a2得。
a2-1)m2-2bm+(1-b2)≥0．
对任何m的值，要使这个式子永远成立，条件是。
即为所求的条件．
解法二：直线(l)即y=mx+b;它通过p(0，b)点，斜率为m．
如果p(0，b)落在(e)内或(e)上，如p1，则过p1点作任意直线(l)显然与椭圆(e)总有公共点．
如果p(0，b)落在(e)外，如p2，那么由p2向椭圆作两切线，则(e)上所有的点都在两切线的一个夹角内，所以可以选择斜率m的值，使直线(l)落在这个夹角的补角内，(l)与(e)就没有公共点了．
因此，(l)与(e)总有公共点的充要条件是p(0，b)点落在(e)内或(e)上．
要使(e)与y轴有公共点，其充要条件是│a│≥1;这时，(e)与y轴的。
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