2024年高考数学——北京理科卷及详解。
2024年高考与2024年相比：（1）新增知识点将增加出题量。新增知识不会综合。
（2） 三角函数题变化不大，以函数为主。（3）立体题考查基本图形中的变化，建系是工具 。（4）概率大题突出对数据的认识，图、表、直方图、茎叶图。
如果使用排列组合题目将简单。（5）导数大题，眼下的题让人猜的透透的，将会有变化。（6）解析大题，“解析几何首先是几何”“代数是手段”“解析几何的本质是把问题代数化。
（7）数列压轴。沿用等差等比数列的研究方法研究新定义数列。
一．选择题
1．已知集合，．若，则的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
1、答案：c
解：数轴法可知。
2．复数。abc． d．
2、答案：a。
解： 3．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是。
a． b． c． d．
3、答案：b
解：，圆心。 改写为极坐标（1，）
4．执行如图所示的程序框图，输出的值为。
ab． c． d．
4、答案：d。
解：0<4,i=1,;…i=4,
5．如图，，，分别与圆切于点，，，延长与圆交于另一点．给出下列三个结论：
其中正确结论的序号是 （
a．①②b．②③c．①③d．①②
5、答案：a.
解：综合运用切线长定理，圆幂定理。
6．根据统计，一名工人组装第件某产品所用的时间（单位：分钟）为（，为常数），已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第件产品用时15分钟，那么和的值分别是（ ）
a．75, 25b．75, 16 c．60, 25 d．60,16
6、答案：d.
7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（ ）
a．8b． c．10d．
7、答案：c.
解：；；8．设，，，记为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为 （
a． b． c． d．
8、答案：c
解： 分别取（0，0）到（0，4）或（1，4）或（2，4）。
二．填空题。
9．在中，若，，，则。
9、答案：，2。
解：（1），所以a为锐角。。
10．已知向量，，．若与共线，则___
10、答案：。
解：。k=1.
11．在等比数列中，若，，则公比。
11、答案：；。
解：，。所以。所以。由前n项和公式可得。
12．用数字2，3组成四位数，且数字2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有个（用数字作答）．
12、答案：14。
解：分三类。第一类2333有，第二类2233有种，第三类2223有种。求和即可。
13．已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是。
13、答案：
解：数形结合，以图像可得。
14．曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数（）的点的轨迹，给出下列三个结论：
曲线过坐标原点；
曲线关于坐标原点对称；
若点在曲线上，则的面积不大于．
其中，所有正确结论的序号是。
14、解：①如果曲线c经过原点，则与条件矛盾。②曲线关于原点对称，显然正确。设p满足，则与p关于原点对称的p也能使。
点评：应该说，每年北京卷的第8、第14题所考题目，基本不需计算。要尽量避开小题大做。
三．解答题。
15．（13分）已知函数．
1）求的最小正周期；
2）求在区间上的最大值和最小值．
解：（1）=所以周期。
2）因为，。。
16．（14分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．
1）求证平面；
2）若，求与所成角的余弦值；
3）当平面与平面垂直时，求的长．
解：（1）因为四边形abcd是菱形，所以。
又因为平面abcd，所以，所以。
平面pac。
2）设交于o，因为，所以。如图以o为坐标原点，建立空间直角坐标系，则p（0，，2），a（0，），b（1，0，0），c（0，）所以。设与ac 所成角为，则。
3）由（2）知。设p（0，）（t>0）, 则（）。设平面pbc的法向量则，。解得，同理，平面pdc的法向量。因为平面pbc平面pdc，所以，即，解得，所以pa=
17．（13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示．
1）如果，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
2）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数的分布列和数学期望．
解：（1）当x=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树数是：8，8，9，10
所以平均数为。
方差为。2）当x=9 时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是9，9，11，11，乙组同学的植树棵树是：9，8，9，10。
分别从甲、乙两组中随机选取两名同学，共有种可能的结果，这两名同学植树总棵树y的可能取值为17，18，19，20，21。事件“y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”注意到甲组有两同学植9棵，所以该事件有2种可能的结果，因此。
同理可得（甲组两个9，乙组两个9）；
（甲组11时乙组8，或甲组9时乙组10）
甲组两11选1时乙组两9选1）；（甲两11选1乙10）
所以随机变量y的分布列为：
ey=1918．（13分）已知函数．
1）求的单调区间；
2）若对于任意的，都有，求的取值范围．
解：（1）当时，在（，和（k,）上单调递增；在上单调递减。
当时，在（，和（）上单调递减；在上单调递增。
2）如果，在（0，上单调递减；在上单调递增。当时，有，所以不可能恒成立。
如果，在（0，上单调递增；在上单调递减。所以。要使恒成立，只需，即，即。所以；对于任意的，都有的的取值范围是．
19．（14分）已知椭圆，过点作圆的切线交椭圆于，两点．
1）求椭圆的焦点坐标和离心率；
2）将表示为的函数，并求的最大值．
解：（1）焦点坐标（，0），离心率。
2）由题意，切线斜率不可能为零。故可设切线方程。
由圆心到切线的距离为1，可得即。
联立消去x可得
于是。由弦长公式可得
由于点在圆外，所以。
所以 当且仅当时，等号成立。
20．（13分）若数列：（）满足（），则称为数列．记．
1）写出一个满足，且的数列；
2）若，．证明：数列是递增数列的充要条件是；
3）对任意给定的整数（），是否存在首项为0的数列，使得？若果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由．
解：（1）0，1，2，1，0是一个满足条件的e数列a。（答案不唯一，0，1，0，1，0亦然）
２）必要性（如果考生感到区分必要性和充分性困难，可使用符号“”）因为ｅ数列ａ是递增数列，所以，所以是首项为１２，公差为１的等差数列。所以。
充分性（）由于。
所以 ，即。又因为，
故即ａ是递增数列。
综上，结论得证。
３）令则。因为。
所以＝ｎａ因为，所以为偶数。
所以为偶数。
所以，要使＝０必须使为偶数。
即４整除。亦即或。
当时，ｅ数列ａ的项满足时，有＝０。
当时，ｅ数列ａ的项满足时，有＝０。
当＋２或时，不能被４整除，此时不存在ｅ数列ａ使＝０。
2024年高考北京数学试题 理科
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