考点53 不等式选讲。
一、选择题。
1.（2014·安徽高考文科·ｔ9）与（2014·安徽高考理科·ｔ9）相同。
若函数的最小值为3，则实数的值为（ ）
a.5或8 b.或5 c.或 d.或8
解题提示】 以a为目标进行分类讨论，去掉绝对值符号。
解析】选d.（1）当a<2时，；
2）当a>2时，由（1）（2）可得，解得a=-4或8。
二、填空题。
2. （2014· 湖南高考理科·ｔ13）若关于的不等式的解集为，则
解题提示】求解绝对值不等式。
解析】由得到，，又知道解集为。
所以。答案：
3.(2014·广东高考理科)不等式+≥5的解集为 .
解析】方法一：由得x≤-3;
由无解；由得x≥2.
即所求的解集为。
方法二：在数轴上，点-2与点1的距离为3,所以往左右边界各找距离为1的两个点，即点-3到点-2与点1的距离之和为5,点2到点-2与点1的距离之和也为5,原不等式的解集为。
答案：.误区警示】易出现解集不全或错误。对于含绝对值的不等式不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏。
4.(2014·陕西高考文科·t15)（文理共用）a.(不等式选做题)设a,b,m,n∈r,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为 .
解题指南】本题考查运用柯西不等式求最值的问题。
解析】由柯西不等式得。
a2+b2)(m2+n2)≥(ma+nb)2,即5(m2+n2)≥25,m2+n2)≥5,所以的最小值为。
答案：5.(2014·江西高考文科·t15)x,y∈r,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围为 .
解题指南】利用绝对值不等式及绝对值的几何意义求解。
解析】由|a|+|b|≥|a-b|知，|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,同理|y|+|y-1|≥1,故|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,所以0≤x≤1且0≤y≤1,即0≤x+y≤2.
答案：[0,2]
三、解答题。
6. (2014·福建高考理科·ｔ21)不等式选讲。
已知定义在上的函数的最小值为．
1)求的值；
2)若是正实数，且满足，求证：．
解析】(1)∵，当且仅当时，等号成立，的最小值为3分。
2)由(1)知，又是正实数，即7分。
7. (2014·新课标全国卷ⅱ高考文科数学·t24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲。
设函数f(x) =a>0)
1)证明：f≥2.
2)若f<5,求a的取值范围。
解题提示】(1)利用绝对值不等式和均值不等式的性质证明。
(2)通过讨论脱去绝对值号，解不等式求得a的取值范围。
解析】(1)由a＞0，有f（x）= x-a|≥=a≥2.所以f(x)≥2.
2）f(3)= 3-a|.
当a＞3时，f(3)=a+,由f(3)＜5,得3＜a＜.
当0＜a≤3时，f(3)=6-a+,由f(3)＜5，得＜a≤3.
综上，a的取值范围是。
8.(2014·新课标全国卷ⅱ高考理科数学·t24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲。
设函数f(x) =a>0)
1)证明：f≥2.
2)若f<5,求a的取值范围。
解题提示】(1)利用绝对值不等式和均值不等式的性质证明。
2)通过讨论脱去绝对值号，解不等式求得a的取值范围。
解析】(1)由a＞0，有f（x）= x-a|≥=a≥2.
所以f(x)≥2.
2）f(3)= 3-a|.
当a＞3时，f(3)=a+,由f(3)＜5,得3＜a＜.
当0＜a≤3时，f(3)=6-a+,由f(3)＜5，得＜a≤3.
综上，a的取值范围是。
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