第3讲 ch.1 随机事件与概率。
1.3 概率的性质。
1.3.0 不可能事件的概率零性。
性质1.3.1.
proof 由于，有。
又由与任意事件互斥，由可列可加性，得。
利用正则性代入上式，得。
最后由非负性，得，代入上式，得。
remark
若，则；反之不成立。(为什么？)
1.3.1 概率的可加性。
remark 概率的可加性包括可列可加性(基本性质之一)和有限可加性(以下性质1.3.2).
性质1.3.2(有限可加性) 若事件为同一样本空间下的互斥事件列，则。
proof 记。
则。且为同一样本空间下的可列互斥事件列，于是，由可列可加性及不可能事件的概率零性，得。
因此。性质1.3.3(概率的互补性) 对任意事件，有。
proof 注意到，利用正则性和有限可加性，得。
即。remark
概率的互补性的效用：面对复杂的事件，转而考虑，发现简单易得，用达到求之目的！
例1.3.1 36只灯泡中4只60w，32只40w，现从中任取3只，求至少取到1只60w灯泡的概率。
解记。“任取3只中至少有一只60w灯泡”.
较复杂，而=“任取3只中全为40w灯泡”的概率，由古典方法容易求得为。
于是。例1.3.2 抛掷一枚均匀硬币5次，试求既出现正面又出现反面的概率。
解记。抛掷5次既出现正面又出现反面”.
则。抛掷5次全出现正面或全出现反面”.
易见，先由古典方法容易求得：
于是。1.3.2概率的单调性。
性质1.3.4 若，则（概率的可减性）
proof 由，可将表示为如下互斥并形式。
利用有限可加性，得。
故。推论（概率的单调性）若，则。
proof 利用概率的可减性及非负性，得。
从而有。remark 单调性的逆命题，若，则不成立。
反例：对“向区间随机投一点” 试验，记。
该点落入区间”，该点落入区间”.
利用几何方法，易见。
显然，但明显不成立。
性质1.3.5（弱可减性）对任意事件，，有。
proof 由，且，由可减性，得。
remark 面对复杂事件的概率计算，也可巧妙运用可减性来解决！如下例。
例1.3.3 口袋中有编号为的只球，从中有放回地任取次，求取出只球中最大号码为的概率。
解记。“取出的只球中最大号码为”，.
直接计算不容易。考虑以下事件。
取出的只球中最大号码小于等于”，取出的只球中最大号码小于等于”.
则，易见，且。
而由古典方法，得， =
于是。remark p.34.,的具体计算结果及说明。
1.3.3概率的加法公式（解决任意事件并的概率计算）
性质1.3.6（加法公式）
对任意事件，，有。
对个任意事件，则有。
proof对任意事件，，易见可将表示为“互斥并”形式为。
于是，由有限可加性和弱可减性，得。
故证得。利用归纳法可证。
remark 关注的结论。
proof 利用去证。
推论（半可加性）
对任意事件，，有；
对任意事件列，有。
利用加法公式求概率举例。
例1.3.4已知，，，求。
解：由。得，于是。
例1.3.5 已知，，，求：
中至少发生一个的概率；
都不发生的概率。
解：由于及，得。
于是。remark 记好用好。
例1.3.6（匹配问题，也称配对问题）在一个有个人参加的晚会上，每个人带来了一件礼物，且假定各人带来的礼物都不相同，晚会期间各人从放在一起的件礼物中任取一件，求至少有一人抽到自己带来的礼物的概率？
解：设。“第个人抽到自己带来的礼物”，则所求概率为，为此先由古典方法求得， ,
于是。remark给出了此概率的近似计算！
1.3.4 概率的连续性。
了解其基本思想就可以了。
定义极限事件概率的连续性以“有限可加性+下连续”换掉“可列可加性”形成新的公理化定义。
§1.3课外作业习题1.3.()
概率论第3章答案
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