习题二。
1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以x表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量x的分布律。
解】故所求分布律为。
2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以x表示取出的次品个数，求：
1） x的分布律；
2） x的分布函数并作图；
解】故x的分布律为。
2） 当x<0时，f（x）=p（x≤x）=0
当0≤x<1时，f（x）=p（x≤x）=p(x=0)=
当1≤x<2时，f（x）=p（x≤x）=p(x=0)+p(x=1)=
当x≥2时，f（x）=p（x≤x）=1
故x的分布函数。
3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率。
解】设x表示击中目标的次数。则x=0，1，2，3.
故x的分布律为。
分布函数。4.（1） 设随机变量x的分布律为。
p=，其中k=0，1，2，…，0为常数，试确定常数a.
2） 设随机变量x的分布律为。
p=a/n， k=1，2，…，n，试确定常数a.
解】（1） 由分布律的性质知。
故。2) 由分布律的性质知。
即。5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：
1） 两人投中次数相等的概率；
2） 甲比乙投中次数多的概率。
解】分别令x、y表示甲、乙投中次数，则x~b（3，0.6）,y~b(3,0.7)
6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的。
试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？
解】设x为某一时刻需立即降落的飞机数，则x~b(200,0.02)，设机场需配备n条跑道，则有。
即。利用泊松近似。
查表得n≥9.故机场至少应配备9条跑道。
7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？
解】设x表示出事故的次数，则x~b（1000，0.0001）
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数x满足p=p，求概率p.
解】设在每次试验中成功的概率为p，则。故。所以。
9.设事件a在每一次试验中发生的概率为0.3，当a发生不少于3次时，指示灯发出信号，1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；
2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率。
解】（1） 设x表示5次独立试验中a发生的次数，则x~6（5，0.3）
2) 令y表示7次独立试验中a发生的次数，则y~b（7，0.3）
10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数x服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.
1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；
2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率。
解】（12)
11.设p=, k=0,1,2
p=, m=0,1,2,3,4
分别为随机变量x，y的概率分布，如果已知p=，试求p.
解】因为，故。而。故得。
即。从而
12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率。
解】令x为2000册书中错误的册数，则x~b(2000,0.001).利用泊松近似计算，得。
13.进行某种试验，成功的概率为，失败的概率为。以x表示试验首次成功所需试验的次数，试写出x的分布律，并计算x取偶数的概率。
解】14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险。在一年中每个人死亡的概率为0.
002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金。求：
1） 保险公司亏本的概率；
2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率。
解】以“年”为单位来考虑。
1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元。
设1年中死亡人数为x，则x~b(2500,0.002)，则所求概率为。
由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有。
2) p(保险公司获利不少于10000)
即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上
p（保险公司获利不少于20000）
即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%
15.已知随机变量x的密度函数为。
f(x)=ae-|x|, 求：（1）a值；（2）p.
解】依题意知，即其密度函数为。
该顾客未等到服务而离开的概率为。
即其分布律为。
20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走。第一条路程较短但交通拥挤，所需时间x服从n（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间x服从n（50，42）.
1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？
2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？
解】（1） 若走第一条路，x~n（40，102），则。
若走第二条路，x~n（50，42），则。
故走第二条路乘上火车的把握大些。
2） 若x~n（40，102），则。
若x~n（50，42），则。
故走第一条路乘上火车的把握大些。
21.设x~n（3，22），1） 求p=p.
解】（1）
2) c=3
22.由某机器生产的螺栓长度（cm）x~n（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率。
解】23.一工厂生产的电子管寿命x（小时）服从正态分布n（160，σ2），若要求p，p；
3） 求分布密度f（x）.
解】（1）由得。
25.设随机变量x的概率密度为。
f（x）=求x的分布函数f（x），并画出f（x）及f（x）.
解】当x<0时f（x）=0
当0≤x<1时。
当1≤x<2时。
当x≥2时。
故。26.设随机变量x的密度函数为。
1） f(x)=ae- |x|,λ0;
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