1．设p(ab) =0，则下列说法哪些是正确的？
(1) a和b不相容；
(2) a和b相容；
(3) ab是不可能事件；
(4) ab不一定是不可能事件；
(5) p(a) =0或p(b) =0
(6) p(a – b) =p(a)
解：(4) (6)正确。
2．设a，b是两事件，且p(a) =0.6，p(b) =0.7，问：
(1) 在什么条件下p(ab)取到最大值，最大值是多少？
(2) 在什么条件下p(ab)取到最小值，最小值是多少？
解：因为，又因为即所以。
1) 当时p(ab)取到最大值，最大值是=0.6.
2)时p(ab)取到最小值，最小值是p(ab)=0.6+0.7-1=0.3.
3．已知事件a，b满足，记p(a) =p，试求p(b)．
解：因为，即，所以
4．已知p(a) =0.7，p(a – b) =0.3，试求．
解：因为p(a – b) =0.3，所以p(a )–p(ab) =0.
3, p(ab) =p(a )–0.3,又因为p(a) =0.7，所以p(ab) =0.
7– 0.3=0.4，.
5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？
解：显然总取法有种，以下求至少有两只配成一双的取法：
法一：分两种情况考虑： +
其中：为恰有1双配对的方法数。
法二：分两种情况考虑： +
其中：为恰有1双配对的方法数。
法三：分两种情况考虑： +
其中：为恰有1双配对的方法数。
法四：先满足有1双配对再除去重复部分： -
法五：考虑对立事件： -
其中： 为没有一双配对的方法数。
法六：考虑对立事件：
其中：为没有一双配对的方法数。
所求概率为
6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求：
(1) 求最小号码为5的概率；
(2) 求最大号码为5的概率．
解：(1) 法一：，法二：
(2) 法二：，法二：
7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率．
解：设m1, m2, m3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则。
8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？
解：设m2, m1, m0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则。
9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．
解：设m1=“取到两个球颜色相同”，m1=“取到两个球均为白球”，m2=“取到两个球均为黑球”，则。
所以。10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．
解：这是一个几何概型问题．以x和y表示任取两个数，在平面上建立xoy直角坐标系，如图。
任取两个数的所有结果构成样本空间 =
事件a =“两数之和小于6/5”= 因此。图？
11．随机地向半圆（为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率．
解：这是一个几何概型问题．以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，表示原点和该点的连线与轴的夹角，在平面上建立xoy直角坐标系，如图。
随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间。
x，y)：
事件a =“原点和该点的连线与轴的夹角小于”
x，y)：
因此。12．已知，求．
解： 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？
解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。
设a=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，b=“两件均为不合格品”；，14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？
解：设a=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，b=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则，由全概率公式得。
由贝叶斯公式得。
15．将两信息分别编码为a和b传递出去，接收站收到时，a被误收作b的概率为0.02，而b被误收作a的概率为0.01，信息a与信息b传送的频繁程度为2：
1，若接收站收到的信息是a，问原发信息是a的概率是多少？
解：设m=“原发信息是a”，n=“接收到的信息是a”，已知。
所以。由贝叶斯公式得。
16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？
解：设ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3.
已知所以。至少有一人能将此密码译出的概率为。
17．设事件a与b相互独立，已知p(a) =0.4，p(a∪b) =0.7，求。
解：由于a与b相互独立，所以p(ab)=p(a)p(b),且。
p(a∪b)=p(a)+ p(b) -p(ab)= p(a)+ p(b) -p(a)p(b)
将p(a) =0.4，p(a∪b) =0.7代入上式解得 p(b) =0.5，所以。
或者，由于a与b相互独立，所以a与相互独立，所以。
18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？
解：设a=“甲射击目标”，b=“乙射击目标”，m=“命中目标”，已知p(a)=p(b)=1,所以。
由于甲乙两人是独立射击目标，所以。
19．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.
1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问：
(1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？
(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？
解：设ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3； bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2.
1）根据题意，p(a1)=0.7，p(a2)=0.8，p(a3)=0.9，p(b1)=0.7,p(b2)=0.8,第一种工艺加工得到合格品的概率为。
p(a1a2a3)= p(a1)p(a2)p(a3)=
第二种工艺加工得到合格品的概率为。
p(b1b2)= p(b1)p(b2)=
可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。
2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而p(b1)=p(b2)=0.7,第二种工艺加工得到合格品的概率为。
p(b1b2)= p(b1)p(b2)=
可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。
1．设两两相互独立的三事件a，b和c满足条件abc = 且已知，求p(a)．
解：因为abc = 所以p(abc) =0,因为a，b，c两两相互独立，所以。
由加法公式得。
即 考虑到得。
2．设事件a，b，c的概率都是，且，证明：
证明：因为，所以。
将代入上式得到。
整理得。3．设0 < p(a) <1，0 < p(b) <1，p(a|b) +试证a与b独立．
证明：因为p(a|b) +所以。
将代入上式得。
两边同乘非零的p(b)[1-p(b)]并整理得到。
所以a与b独立。
4．设a，b是任意两事件，其中a的概率不等于0和1，证明是事件a与b独立的充分必要条件．
证明：充分性，由于，所以即。
两边同乘非零的p(a)[1-p(a)]并整理得到所以a与b独立。
必要性：由于a与b独立，即且所以。
一方面。另一方面。
所以。5．一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为。
(1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率．
(2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率．
解：设ai=“第i次及格”，i=1，2.已知。
由全概率公式得。
1) 他取得该资格的概率为。
2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为。
6．每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收．由于检验误差，一件**被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为**的概率为10%．求检验一箱产品能通过验收的概率．
解：设ai=“一箱产品有i件次品”，i=0，1，2.设m=“一件产品为**”，n=“一件产品被检验为**”.
已知。由全概率公式。
又。由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为。
7．用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下．若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为0.9；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.
4和0.6．今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率．
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1 如果事件与b互不相容，则 c ab cd 2 对于任意两个事件a与b,必有p ab c ab p a p b p ab c p a p abd p a p b 3 假设且a与b为互不相容事件，则 b a 1 8 b 3 4 c 2 5 d 0 4 设a，b为两个随机事件，且，则p a b a a...
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