1.设p(ab) =0,则下列说法哪些是正确的?
(1) a和b不相容;
(2) a和b相容;
(3) ab是不可能事件;
(4) ab不一定是不可能事件;
(5) p(a) =0或p(b) =0
(6) p(a – b) =p(a)
解:(4) (6)正确。
2.设a,b是两事件,且p(a) =0.6,p(b) =0.7,问:
(1) 在什么条件下p(ab)取到最大值,最大值是多少?
(2) 在什么条件下p(ab)取到最小值,最小值是多少?
解:因为,又因为即所以。
1) 当时p(ab)取到最大值,最大值是=0.6.
2)时p(ab)取到最小值,最小值是p(ab)=0.6+0.7-1=0.3.
3.已知事件a,b满足,记p(a) =p,试求p(b).
解:因为,即,所以
4.已知p(a) =0.7,p(a – b) =0.3,试求.
解:因为p(a – b) =0.3,所以p(a )–p(ab) =0.
3, p(ab) =p(a )–0.3,又因为p(a) =0.7,所以p(ab) =0.
7– 0.3=0.4,.
5. 从5双不同的鞋子种任取4只,问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?
解:显然总取法有种,以下求至少有两只配成一双的取法:
法一:分两种情况考虑: +
其中:为恰有1双配对的方法数。
法二:分两种情况考虑: +
其中:为恰有1双配对的方法数。
法三:分两种情况考虑: +
其中:为恰有1双配对的方法数。
法四:先满足有1双配对再除去重复部分: -
法五:考虑对立事件: -
其中: 为没有一双配对的方法数。
法六:考虑对立事件:
其中:为没有一双配对的方法数。
所求概率为
6.在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任取3人记录其纪念章的号码.求:
(1) 求最小号码为5的概率;
(2) 求最大号码为5的概率.
解:(1) 法一:,法二:
(2) 法二:,法二:
7.将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率.
解:设m1, m2, m3表示杯子中球的最大个数分别为1,2,3的事件,则。
8.设5个产品中有3个合格品,2个不合格品,从中不返回地任取2个,求取出的2个中全是合格品,仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少?
解:设m2, m1, m0分别事件表示取出的2个球全是合格品,仅有一个合格品和没有合格品,则。
9.口袋中有5个白球,3个黑球,从中任取两个,求取到的两个球颜色相同的概率.
解:设m1=“取到两个球颜色相同”,m1=“取到两个球均为白球”,m2=“取到两个球均为黑球”,则。
所以。10. 若在区间(0,1)内任取两个数,求事件“两数之和小于6/5”的概率.
解:这是一个几何概型问题.以x和y表示任取两个数,在平面上建立xoy直角坐标系,如图。
任取两个数的所有结果构成样本空间 =
事件a =“两数之和小于6/5”= 因此。图?
11.随机地向半圆(为常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,求原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率.
解:这是一个几何概型问题.以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标,表示原点和该点的连线与轴的夹角,在平面上建立xoy直角坐标系,如图。
随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间。
x,y):
事件a =“原点和该点的连线与轴的夹角小于”
x,y):
因此。12.已知,求.
解: 13.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率是多少?
解:题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品,则两件均为不合格品的概率”。
设a=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”,b=“两件均为不合格品”;,14.有两个箱子,第1箱子有3个白球2个红球,第2个箱子有4个白球4个红球,现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出一个球,此球是白球的概率是多少?已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少?
解:设a=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”,b=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”,则,由全概率公式得。
由贝叶斯公式得。
15.将两信息分别编码为a和b传递出去,接收站收到时,a被误收作b的概率为0.02,而b被误收作a的概率为0.01,信息a与信息b传送的频繁程度为2:
1,若接收站收到的信息是a,问原发信息是a的概率是多少?
解:设m=“原发信息是a”,n=“接收到的信息是a”,已知。
所以。由贝叶斯公式得。
16.三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为,问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?
解:设ai=“第i个人能破译密码”,i=1,2,3.
已知所以。至少有一人能将此密码译出的概率为。
17.设事件a与b相互独立,已知p(a) =0.4,p(a∪b) =0.7,求。
解:由于a与b相互独立,所以p(ab)=p(a)p(b),且。
p(a∪b)=p(a)+ p(b) -p(ab)= p(a)+ p(b) -p(a)p(b)
将p(a) =0.4,p(a∪b) =0.7代入上式解得 p(b) =0.5,所以。
或者,由于a与b相互独立,所以a与相互独立,所以。
18.甲乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率是多少?
解:设a=“甲射击目标”,b=“乙射击目标”,m=“命中目标”,已知p(a)=p(b)=1,所以。
由于甲乙两人是独立射击目标,所以。
19.某零件用两种工艺加工,第一种工艺有三道工序,各道工序出现不合格品的概率分别为0.3,0.2,0.
1;第二种工艺有两道工序,各道工序出现不合格品的概率分别为0.3,0.2,试问:
(1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些?
(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时,情况又如何?
解:设ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”,i=1,2,3; bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”,i=1,2.
1)根据题意,p(a1)=0.7,p(a2)=0.8,p(a3)=0.9,p(b1)=0.7,p(b2)=0.8,第一种工艺加工得到合格品的概率为。
p(a1a2a3)= p(a1)p(a2)p(a3)=
第二种工艺加工得到合格品的概率为。
p(b1b2)= p(b1)p(b2)=
可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。
2)根据题意,第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504,而p(b1)=p(b2)=0.7,第二种工艺加工得到合格品的概率为。
p(b1b2)= p(b1)p(b2)=
可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。
1.设两两相互独立的三事件a,b和c满足条件abc = 且已知,求p(a).
解:因为abc = 所以p(abc) =0,因为a,b,c两两相互独立,所以。
由加法公式得。
即 考虑到得。
2.设事件a,b,c的概率都是,且,证明:
证明:因为,所以。
将代入上式得到。
整理得。3.设0 < p(a) <1,0 < p(b) <1,p(a|b) +试证a与b独立.
证明:因为p(a|b) +所以。
将代入上式得。
两边同乘非零的p(b)[1-p(b)]并整理得到。
所以a与b独立。
4.设a,b是任意两事件,其中a的概率不等于0和1,证明是事件a与b独立的充分必要条件.
证明:充分性,由于,所以即。
两边同乘非零的p(a)[1-p(a)]并整理得到所以a与b独立。
必要性:由于a与b独立,即且所以。
一方面。另一方面。
所以。5.一学生接连参加同一课程的两次考试.第一次及格的概率为p,若第一次及格则第二次及格的概率也为p;若第一次不及格则第二次及格的概率为。
(1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格,求他取得该资格的概率.
(2) 若已知他第二次及格了,求他第第一次及格的概率.
解:设ai=“第i次及格”,i=1,2.已知。
由全概率公式得。
1) 他取得该资格的概率为。
2) 若已知他第二次及格了,他第一次及格的概率为。
6.每箱产品有10件,其中次品从0到2是等可能的,开箱检验时,从中任取一件,如果检验为次品,则认为该箱产品为不合格而拒收.由于检验误差,一件**被误判为次品的概率为2%,一件次品被误判为**的概率为10%.求检验一箱产品能通过验收的概率.
解:设ai=“一箱产品有i件次品”,i=0,1,2.设m=“一件产品为**”,n=“一件产品被检验为**”.
已知。由全概率公式。
又。由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为。
7.用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下.若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8;若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为0.9;据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.
4和0.6.今独立地对一产品进行三次检验,结果是两次检验认为含有杂质,而有一次认为不含有杂质,求此产品真含有杂质的概率.
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