习题一。
1．连续抛掷两枚硬币，观察其出现正反面的情况。写出这个随机试验的样本空间．
5．已知一批产品中有3个次品，从这批产品中任取5件产品来检查．设事件表示取出的5件产品中恰有件次品．问：
1）事件是否互不相容？
2）事件是否为必然事件？
3）设事件表示，试用表示．
13．某地某月份刮大风的概率为，在刮大风的条件下降雨的概率为，求该地该月份任一时刻既刮大风又下雨的概率．
15．设为两个相互独立的事件，且，．求．
21．用三台机床加工同一种零件一批，这批零件中三台机床各占产量分别为50%，30%和20%．若各机床加工零件为合格品的概率分别为0.94，0.9，0.95．求这批零件的合格率．
27．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，某个这种动物现龄20岁，问它能活到25岁的概率是多少？
习题二。1．盒中有10个形状相同的10只灯泡，其中7个螺口灯泡，3个卡口灯泡，灯口向下放着看不见．需要取出一个螺口灯泡，若取出的为卡口灯泡就放到另一个空盒中．求取到螺口灯泡前已取出卡口灯泡的个数的分布列．
2．现有10个号码（1号到10号），从中任抽取3个号码，记这3个号码中最小号码为，求的分布列及．
3．对一目标进行射击，直到击中为止．如果每次射击命中率为，求射击次数的分布列．
4．有人求得一离散型随机变量的分布列为。
试说明这个计算结果是否正确．
5．10门火炮各自独立地同时向一敌船射击一次．设当敌船被命中两发或两发以上的炮弹则被击沉．若每门炮射击一次的命中率都为0.6，求敌船被击沉的概率．
6．设顾客在某银行的服务窗口等待服务的时间（单位：分钟）服从参数为的指数分布．某顾客在服务窗口等待服务，若超过１０分钟，他就离去．他一个月要到银行５次．以表示该顾客一个月内未等到服务而离去的次数．写出的分布列并求．
7．某地每年遭台风袭击的次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）该地一年遭受8次台风的概率．（2）该地一年内遭受8次台风袭击的概率．
8．设服从泊松布布，且已知，求．
9．设某种电子元件的使用寿命的概率密度函数为。
（单位：小时），1）确定常数．（2）一仪器中有3个这种元件，问从最初开始使用算起的150小时内3个元件至少损坏一个的概率是多少？
10．设随机变量的概率密度为，1）求常数；（2）计算和．
11．随机变量的概率密度函数为。
求 ：(1) 常数．（2）落入区间（0,1）的概率．
12．设服从[0,5]上的均匀分布，求关于的方程有实根的概率．
13．设某类动物的寿命服从指数分布，试证明在已知寿命长于年的条件下再活年的概率与年龄无关，即．
14．设随机变量的概率分布为。
1）求常数．（2）求及．
3）求的分布函数，并作出的图形．
15．设随机变量的分布函数为，1）求及和．
2）求的密度函数．
16．设连续型随机变量的分布函数，．
求（1）常数； （2）；（3）随机变量的密度函数．
17．设，求：（1）．（2）．（3）．
18．设，求：
19．某产品的质量指标，若要求，问允许最多为多少？
20．设测量从某地到某一目标的距离时，发生的误差（单位：米）．
1）求测量一次产生的误差的绝对值不超过30米的概率．（2）如果接连测量三次，各次测量是相互独立进行的，求至少有一次误差不超过30米的概率．
21．设某批材料的强度．（1）计算从中任取一件，其强度不低于180的概率．（2）如果所用的材料要求以99%的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合这个要求？
22．设离散型随机变量的分布列为。
求和及的分布列．
23．设连续型随机变量的密度函数，求：（1）的密度函数．（2）的密度函数．
24．设，求：（1）的密度函数．（2）的密度函数．
习题三 1. 一口袋中装有四个球，标号分别为，从中先后任取两个球，第一次取得的球标号记为，第二次取得的球标号记为．试就放回抽取与不放回抽取两种情况分别求出的联合分布列．
2. 甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以和分别表示甲和乙的命中次数．试求的分布列．
3. 设二维随机变量的概率密度为。
1) 确定常数；（2）计算．
3)计算，由，确定．
4. 设服从区域上的均匀分布，是由，轴、轴围成的区域．求：（1）的密度函数．（2）概率．
5. 二维随机变量的密度函数为。
求：（1）常数；（2）．
6. 将一枚均匀硬币抛掷三次，用表示在三次**现的正面数，以表示三次**现的正面次数与反面次数之差的绝对值．求的联合分布列和边缘分布列，并判断与是否独立．
7. 设为1题中的随机变量，求的边缘分布列并判断与是否独立．
8. 设二维随机变量的密度函数为。
求边缘密度函数并判断与是否独立．
9. 盒中有3只黑球，2只红球，2只白球，从中任取4只，以表示求取到的黑球数，以表示取到的红球数．求的联合分布列和边缘分布列，并判断与是否独立．
10.（1）若的密度函数为。
问与是否独立？
2）若的密度函数为。
问与是否独立？
11. 设的密度函数为。
求（1）常数；（2）边缘密度函数．
12. 设与相互独立，其分布列分别为。
求：（１的分布列．（2）的分布列．
习题四。1．设的分布律为。
求：．2．设的密度函数为．求：．
3．设的密度函数为，又已知．求和的值．
4．设二维随机变量服从区域上的均匀分布，其中是由轴、轴及直线所围成的区域． 求：．
5．设表示10次重复独立射击中击中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4．求．
6．求第1题到第3题的随机变量的方差．
7．设~，且．求和．
8．设二维随机变量的密度为．试确定常数，并求．
9．设二维随机变量的密度为． 求的均值．
10．设相互独立，密度函数分别为。
求．11．若随机变量不相关．证明：．
12．设相互独立，且．求．
13． 设随机变量和满足． 求：．
14．设二维随机变量的密度为。
求：及．15．设的联合分布律为。
问：是否相关？是否独立？
习题五。1． 随机变量服从参数为的指数分布，试用契比雪夫不等式估计的值．
2． 设随机变量服从二项分布，试用契比雪夫不等式估计的值．
3． 设为相互独立的随机变量序列，且均服从参数为的泊松分布，则。
当时。4． 在每次试验中，事件a以概率发生，是否能以大于0.97的概率保证1000次重复独立试验中事件a发生的次数在400到600的范围内？
5． 某厂有400台同型号的的机器，每台机器发生故障的概率为0.02，假设每台机器独立工作，试求机器出故障的台数不少于2台的概率．
6． 某产品的不合格率为0.005，任取10000件，问不合格品不多于70件的概率是多少？
7． 一复杂系统由100个相互独立的部件组成，在运行期间每个部件损坏的概率为0.10，为使系统能起作用，需要至少85个部件正常工作即可，求整个系统起作用的概率．
习题六。12．设总体和相互独立，都服从正态分布．设和分别是来自总体和的样本，则统计量。
服从分布，自由度为。
13．设总体，是来自总体的样本，则随机变量。
服从分布，自由度为。
14．设是来自总体的样本，记。
则。当时，统计量服从分布，自由度为。
15．设总体服从参数为2的泊松分布，为来自总体的样本，则。
当时，依概率收敛于 ．
16．设为来自总体的样本，为样本均值，为样本方差，则。
ab． c． d．
17．设为来自总体的样本，为样本均值，记。
则服从自由度为的分布的随机变量是（ ）
ab． cd．
18．设随机变量和都服从标准正态分布，则（ ）
a．服从正态分布 b．服从分布。
c．和都服从分布 d．服从分布。
习题七。1． 设为来自总体的样本值，总体分布的概率密度为。
其中为已知参数，未知参数．
1） 求的矩估计值、矩估计量．
2） 求的极大似然估计值、极大似然估计量．
2． 设总体具有几何分布，它的分布列为。
1） 求未知参数的矩估计量．
2） 求未知参数的极大似然估计量．
3． 设总体分布的概率密度为，其中．求未知参数的极大似然估计量．
4． 设总体分布的概率密度为。
其中，均为未知参数．试求：
（1）和的矩估计量．
（2）和的极大似然计量．
5． 一地质学家为研究某湖滩地区岩石成分，随机地自该地区取100个样品（即样本），每个样品有10块石子，并记录了每个样品中属石灰石的石子数． 假设这100次观察相互独立，并且由过去经验知，它们都服从参数为的二项分布，是该地区一块石子是石灰石的概率．求的极大似然估计值．该地质学家所得的数据如下：
样品中属石灰石的石子数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
观察到石灰石的样品个数 0 1 6 7 23 26 21 12 3 1 0
6． 设总体服从正态分布．是从此总体中抽取的一个样本，试验证下面三个估计量。
都是的无偏估计量，并求出每个估计量的方差。 问哪一个方差最小？
17． 设为总体的一个样本，总体的概率密度为。
其中为未知参数． 求参数的极大似然估计量．
20． 设总体的概率分布为。
其中是未知参数，假设总体有如下的样本值：
3，1，3，0，3，1，2，3，则的矩估计值为极大似然估计值为。
习题八。1．设某种产品的指标服从正态分布，它的标准差=150，今抽取一个容量为26的样本，计算得平均值为1637．问在5%的显著水平下，能否认为这批产品的指标的期望值．
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