第一章。
5.设a，b是两事件，且p（a）=0.6,p(b)=0.7,求：
1） 在什么条件下p（ab）取到最大值？
2） 在什么条件下p（ab）取到最小值？
解】（1） 当ab=a时，p（ab）取到最大值为0.6.
2） 当a∪b=ω时，p（ab）取到最小值为0.3.
23. 设p（）=0.3,p(b)=0.4,p(a)=0.5，求p（b｜a∪）
解】 26. 将两信息分别编码为a和b传递出来，接收站收到时，a被误收作b的概率为0.02，而b被误收作a的概率为0.
01.信息a与b传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是a，试问原发信息是a的概率是多少？
解】 设a=，则=
c=，则=由贝叶斯公式，得。
28. 某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.
05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率。
解】 设a=，b=
由贝叶斯公式得。
41.对任意的随机事件a，b，c，试证
p（ab）+p（ac）-p（bc）≤p(a).
证。42. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率。
解】 设=,i=1,2,3.
将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故。
而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故。因此。或。
56. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率。
解】 设a=，b=
第二章。31.设随机变量x~u（0,1），试求：
1） y=ex的分布函数及密度函数；
2） z=-2lnx的分布函数及密度函数。
解】（1）故
当时。当1当y≥e时。
即分布函数。
故y的密度函数为。
2） 由p（0当z≤0时，
当z>0时，
即分布函数。
故z的密度函数为。
43.设三次独立试验中，事件a出现的概率相等。若已知a至少出现一次的概率为19/27，求a在一次试验**现的概率。
解】令x为三次独立试验中a出现的次数，若设p（a）=p,则。
x~b(3,p)
由p（x≥1）=知p（x=0）=（1-p）3=
故p=44.若随机变量x在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+xy+1=0有实根的概率是多少？
解】45.若随机变量x~n（2，σ2），且p.
题6图。解】（1） 因x在（0，0.2）上服从均匀分布，所以x的密度函数为。而。所以。
9.设二维随机变量（x，y）的概率密度为。
f（x，y）=
求边缘概率密度。
解】题10图。
10.设二维随机变量（x，y）的概率密度为。
f（x，y）=
1） 试确定常数c；
2） 求边缘概率密度。
解】（1）得 .
11.设随机变量（x，y）的概率密度为。
f（x，y）=
求条件概率密度fy｜x（y｜x），fx｜y（x｜y）.
题11图。解】
所以。20.雷达的圆形屏幕半径为r，设目标出现点（x，y）在屏幕上服从均匀分布。
1） 求p；
2） 设m=max，求p.
题20图。解】因（x，y）的联合概率密度为。
第四章。7.设随机变量x，y相互独立，且e（x）=e（y）=3，d（x）=12，d（y）=16，求e（3x-2y），d（2x-3y）.
解】(1)
11.设随机变量x的概率密度为。
f（x）=求（1） 系数c;（2） e（x）;（3） d（x）.
解】(1) 由得。
故 16.设二维随机变量（x，y）的概率密度为。
f（x，y）=
试验证x和y是不相关的，但x和y不是相互独立的。
解】设。同理e(y)=0.
而 由此得，故x与y不相关。
下面讨论独立性，当|x|≤1时，
当|y|≤1时，.
显然。故x和y不是相互独立的。
25.设随机变量x的概率密度为。
f(x)=
对x独立地重复观察4次，用y表示观察值大于π/3的次数，求y2的数学期望。
2002研考）
解】令 则。因为。
及，所以。从而。
第五章。14. 设随机变量x和y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出p的估计2001研考）
解】令z=x-y，有。
所以。第七章。
3.设总体x的密度函数为f（x，θ）x1，x2，…，xn为其样本，求θ的极大似然估计。
1） f（x，θ）
2） f（x，θ）
解】（1） 似然函数。
由知。所以θ的极大似然估计量为。
2) 似然函数，i=1,2,…,n.
由知。所以θ的极大似然估计量为
11.设总体x~f(x)=
x1,x2,…,xn是x的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量。
解】(1)又。
故。所以θ的矩估计量。
2) 似然函数。
取对数。所以θ的极大似然估计量为。
概率论答案
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