第一章。
1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点:
(1)掷一颗骰子,记录出现的点数。 ‘出现奇数点’;
(2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数。 ‘两次点数之和为10’, 第一次的点数,比第二次的点数大2’;
(3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果, ‘球的最小号码为1’;
(4)将两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况, ‘甲盒中至少有一球’;
(5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量, ‘通过汽车不足5台’, 通过的汽车不少于3台’。
解 (1)其中‘出现点’,(2)
其中‘’表示空盒;
2.设是随机试验的三个事件,试用表示下列事件:
(1)仅发生;
(2)中至少有两个发生;
(3)中不多于两个发生;
(4)中恰有两个发生;
(5)中至多有一个发生。
解 (1)(2)或;(3)或;
(5)或;3.一个工人生产了三件产品,以表示第件产品是**,试用表示下列事件:(1)没有一件产品是次品;(2)至少有一件产品是次品;(3)恰有一件产品是次品;(4)至少有两件产品不是次品。
解 (1);(2);(3);(4)。
4.在**号码中任取一个**号码,求后面四个数字全不相同的概率。
解设‘任取一**号码后四个数字全不相同’,则。
5.一批晶体管共40只,其中3只是坏的,今从中任取5只,求。
(1)5只全是好的的概率;
(2)5只中有两只坏的的概率。
解 (1)设‘5只全是好的’,则。
(2)设‘5只中有两只坏的’,则。
6.袋中有编号为1到10的10个球,今从袋中任取3个球,求。
(1)3个球的最小号码为5的概率;
(2)3个球的最大号码为5的概率。
解 (1)设‘最小号码为5’,则。
(2)设‘最大号码为5’,则。
7.(1)教室里有个学生,求他们的生日都不相同的概率;
(2)房间里有四个人,求至少两个人的生日在同一个月的概率。
解 (1)设‘他们的生日都不相同’,则。
(2)设‘至少有两个人的生日在同一个月’,则。
或。8.设一个人的生日在星期几是等可能的,求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天,但不是都在同一天的概率。
解设‘生日集中在一星期中的某两天,但不在同一天’,则。
9.将等7个字母随机地排成一行,那么恰好排成英文单词science的概率是多少?
解1 设‘恰好排成science’
将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件,所有的排法:
字母在7个位置中占两个位置,共有种占法,字母在余下的5个位置中占两个位置,共有种占法,字母剩下的3个位置上全排列的方法共3!种,故基本事件总数为,而中的基本事件只有一个,故。
解2 七个字母中有两个,两个,把七个字母排成一排,称为不尽相异元素的全排列。一般地,设有个元素,其中第一种元素有个,第二种元素有个…,第种元素有个,将这个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为。
对于本题有。
10.从等个数字中,任意选出不同的三个数字,试求下列事件的概率: ‘三个数字中不含0和5’, 三个数字中不含0或5’, 三个数字中含0但不含5’.
解 .,或,.
11.将双大小各不相同的鞋子随机地分成堆,每堆两只,求事件‘每堆各成一双’的概率。
解双鞋子随机地分成堆属分组问题,不同的分法共‘每堆各成一双’共有种情况,故。
12.设事件与互不相容,,求与。
解 因为不相容,所以,于是。
13.若且,求。解 由得。
14.设事件及的概率分别为,求及。
解 15.设,且仅发生一个的概率为0.5,求都发生的概率。
解1 由题意有。
所以。解2 仅发生一个可表示为,故。
所以。16.设,求与。
解 ,所以,故。
所以。17.设,试证明。
[证] 因为,所以。故。证毕。
18.对任意三事件,试证。
[证] 证毕。
19.设是三个事件,且,,求至少有一个发生的概率。
解 因为 ,所以,于是。
20.随机地向半圆(为正常数)内掷一点,点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比,求原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率。
解:半圆域如图。
设‘原点与该点连线与轴夹角小于’
由几何概率的定义。
21.把长为的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率。
解1 设‘三段可构成三角形’,又三段的长分别为,则,不等式构成平面域。
发生。不等式确定的子域,所以。
解2 设三段长分别为,则且。
不等式确定了三维空间上的有界平面域。
发生。不等式确定的子域,所以。
22.随机地取两个正数和,这两个数中的每一个都不超过1,试求与之和不超过1,积不小于0.09的概率。
解 ,不等式确定平面域。
则发生的。充要条件为不。
等式确定了的子域,故。
23.(蒲丰投针问题)在平面上画出等距离的一些平行线,向平面上随机地投掷一根长的针,求针与任一平行线相交的概率。
解设‘针与某平行线相交’,针落在平面上的情况不外乎图中的几种,设为针的中点到最近的一条平行线的距离。
为针与平行线的夹角,则。
不等式确定了平面上。
的一个区域。
发生,不等式确定的子域。故
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