分析概率论

分析概率论、现代概率论。

数学学院。08级。祝俊姝。

分析概率论，现代概率论的研究。

到了19世纪初，概率论的研究开始朝着系统化的方向发展，人们注意到某些生物、物理和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的发展。其中贡献较大的数学家有：法国的拉普拉斯、普阿松、泊松，德国的高斯，**的契比雪夫、马尔科夫等。

下面就比这几个科学家做一些简单的介绍：

法国数学家拉普拉斯将古典概率论向近代概率论进行推进，他首先明确给出了概率的古典的定义，并在概率论中引入了更有力的数学分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。他还证明了“棣莫弗---拉普拉斯定理”，把棣莫弗的结论推广到一般场合，还建立了观测误差理论和最小二乘法。拉普拉斯一生写过好几本概率论专著，其中《分析概率论》（2024年）被誉为古典概率论系统理论的经典之作，全面总结了前一时期的研究成果，并予以严密而又系统的表述；也是转变的标志。

拉普拉斯在2024年有一个题为《概率论的哲学**》的讲演，2024年《分析概率论》再版时，他把这个讲演稿作为该书的绪言发表。在该书中拉普拉斯给出了古典概率的明确定义，引入了母函数的概念，给出棣莫弗---拉普拉斯定理的证明。此外，书中还有丰富的统计材料，例如书中有一个例子，说明法国邮局历年因为地址不详而无法投寄的死信的比例是相当稳定的。

法国的普阿松也是这个时期概率论的重要代表人之一。他最早引用“大数定律”一词，他的研究得到一种新的分布---普阿松分布。他的有关著作是《关于民事审判的概率研究》（2024年）和《打靶射击研究报告》，后者是对射击问题的专门论述，是着重研究实际问题的概率论著作。

泊松也是19世纪概率统计领域里的卓越人物。他改进了概率论的运用方法，特别是用于统计方面的方法，建立了描述随机现象的一种概率分布──泊松分布。他推广了“大数定律”，并导出了在概率论与数理方程中有重要应用的泊松积分。

他是从法庭审判问题出发研究概率论的，2024年出版了他的专著《关于刑事案件和民事案件审判概率的研究》。

19世纪末20世纪初，**数学开始异军突起，他们在概率论领域的工作格外地引人注目。彼得堡学派的奠基人契比雪夫率先脱颖而出，他引入了著名的“契比雪夫不等式”，并据此证明了“大数定律”和“中心极限定理”。切比雪夫是在概率论门庭冷落的年代从事这门学问的．他一开始就抓住了古典概率论中具有基本意义的问题，即那些“几乎一定要发生的事件”的规律——大数定律．历史上的第一个大数定律是由雅格布·伯努利(bernoulli， jacob i)提出来的，后来 s－d．b．泊松(poisson)又提出了一个条件更宽的陈述，除此之外在这方面没有什么进展．相反，由于有些数学家过分强调概率论在伦理科学中的作用甚至企图以此来阐明“隐蔽着的神的秩序”，又加上理论工具的不充分和古典概率定义自身的缺陷，当时欧洲一些正统的数学家往往把它排除在精密科学之外．接着他的学生、以概率论研究而著称于世的马尔科夫又提出了一种新的随机过程理论---马尔科夫过程”，由于它在原子物理、理论物理、化学、公用事业等方面的广泛应用，如今已发展成为现代概率论的一个新分支。

概率论的理论系统形成以后，由于它全新的研究方法，在整个两世纪成了热门学科，几科所有的科学领域，都修企图借助概率论的方法解决实际问题。建立概率论的逻辑基础，成为摆在数学家面前的迫在眉睫的任务。

2024年，前苏联数学家伯恩斯坦首先给出了概率论的公理体系，2024年，柯尔莫哥洛夫以其莫斯科学派所擅长的实变函数论和测度论为基础，又给出了概率论的一个公理体系。这一体系与伯恩斯坦的相比，不仅使现代意义下的概率论理论更加严密完备，而且为论述无限随机试验序列或一般的随机过程提供了足够的逻辑基础，从而应用更加方便。可以说，几科所有现代概率论的结论都是用柯尔莫哥洛夫的方式加以阐述的，因此，柯尔莫哥洛夫和他的工作成为前苏联数学史上最光辉的一页。

概率论的产生与发展，表明人们对偶然性与必然性之间的辩证关系有了进一步的认识，但是这却被某些唯心主义者歪曲利用。他们说，“从小规模看来一切都没有什么秩序”，而把大量个别零碎场合归并在一起，就“可阐明隐蔽着的神的秩序的法则”。在人口统计中，男女人数基本相同这一事实也成了某些学者论证神的存在的证据。

18世纪英国皇家学会的一个会员就说：“男女人数的均衡不是偶然的结果，而是神的意旨，为了善的目的。”但当进一步调查发现男婴略多于女婴时，该学会另一个会员又说，男孩与女孩不以偶然的比例出生，而是男孩有一些富余，这是“上帝要籍以均衡男性易于遭受较大的危险性”，以此公开为资本主义的侵略战争辩护。

进入19世纪，出现了对概率论某些基本原理的胡乱搬用，比如，不少人不懂得法庭是阶级**的工具，而把概率论应用于法庭，并企图论证资产阶级法庭只要依赖多数人的证词就人会错判。与此同时，形而上学思想在概率论中也有深刻的反映。一种观点是只承认必然性，否认偶然性。

例如，拉普拉斯在《概率论的哲学**》中说：“假如有人知道了在某一时刻支配自然的一切力，以及它的一切组成部分的相对位置，又假如他的智力充分丰富，能把一切数据加以分析，把宇宙中由最大的物体以至最细小的原子的一切运动完全包括在一个公式里面，这样对他就没有什么东西是不确定的了，未来的也好，过去的也好，对他都一览无遗的了。”在拉普拉斯看来，偶然性只是人类无知或认识不完全的表现，人类终将能发现一种公式，把一切偶然性都表现为必然性，就像天体运动服从万有引力一样。

这是典型的形而上学决定论，显然有很大的局限性。还有一种观点是只承认偶然性否认必然性。例如，某些马赫主义者就持这种观点。

在他们看来，必然性的规律不过是人们为了“方便”而创造的符号、记号，公开宣称，“必然性属于概念世界，不属于知觉世界”。此外，也有人引用所谓“贝特朗悖论”否认概率的客观性，宣扬概率的主观性与人为性。该悖论是说，在定圆内任意作一弦，其长大于该圆内接正三角形的边长的概率按不同解法可得1/2,1/3,及1/4。

其所以产生悖论，是由于在这个问题中未给出“任意作一弦”这个概率明确的定义，因此，把三个不同问题的答案混作同一个问题的答案了。

唯心主义和形而上学的渗入，使概率论的声誉受到影响，也影响了概率论在19世纪的健康发展。

从19世纪末到20世纪40年代末的半个世纪中，由于物理学、力学以及数理统计学的发展，为概率论的应用提供了新的广阔场所，使其发生了深刻的变化。这一变化最初集中表现在**彼得堡学派的****人契比雪夫、马尔科夫与李雅普诺夫的工作中。他们的工作主要是把随机变量引入概率论，并且进行了广泛的应用，建立了契比雪夫不等式，证明了大数定理与中心极限定理以及提出马尔科夫链等。

在本世纪20年代以后的20多年的时间里，除苏联继续保持发展的势头之外，法国、美国、德国以及英国等国家也赶了上来，涌现了一批代表人物，如前苏联的辛钦与柯尔莫哥洛夫，美国的杜布与费勒，法国的波雷尔与p.莱维，德国的封·米塞斯以及英国的费谢尔等人。波雷尔改进了大数定律得出强大数定律p.

莱维推广了中心极限定理；辛钦提出了在时间中均匀进行的平稳理论；费勒和柯尔莫哥洛夫发展了马尔科夫链；封·米塞斯提出概率的统计定义，并引入样本空间概念，旨谢尔发展了概率的统计观点，经过波雷尔等人的工作，逐渐形成了概率论的测试方法；以柯尔莫哥洛夫为代表建立了概率论的公理化体系，从此概率论才有了严格的逻辑基础。经过这些代表人物的工作，概率论走向了一个新的高峰。所以本世纪的20年代和30年代，被人称为概率论的英雄时代。

现代概率论：

从20世纪50年代开始，概论论的发展又进入一个新的历史时期---现代概率论时期。在此以前，概率论主要把概率问题变成分析问题来解决，解决后再研究其概率含义；研究的重点是权限分布理论以及通过概率分布来研究随机过程。从50年代起，概率论形成了自己的方法---随机分析方法；研究的重点是过程的样本函数性质，如右连续性、连续性、有界性、有无第二类间断点、跳跃性以及阶梯性等。

在现代化技术的刺激下，它的理论和应用都有显著的发展，出现了理论概率与应用概率的分化。电子计算机的产生与发展，给比较复杂的、大量的计算问题提供了有力的工具，为理论概率与应用概率的发展开辟了广阔的场所。

现代概率论所研究的内容大致可分为极限理论、独立增量过程、马尔科夫过程、平稳过程和时间序列、鞅和随机微分方程、点过程等。此外，属古典概率的一些问题，如几何概率和用组合数学方法解决只涉及有限个基本事件的概率问题等，仍有人继续研究，并有新的发展。还有，应用概率的发展占有特别重要的地位。

现在，概率论已被广泛应用于解决工农业生产、军事技术和科学技术中的问题。在不久以前产生的控制论、人工智能、图像识别和可靠性研究等应用学科中，概率论已成为它们处理问题的重要工具。刚刚发展起来的概率仪表，可用来监督自动化生产过程和处理大量数据。

现代概率论是联系实际最紧密的数学分支之一。

概率论同其它一些科学相结合产生了不少边缘学科，如生物统计、统计物理学以及统计预报等学科。将概率论方法应用于解决某一类问题而又产生了不少新的数学分支，例如，把它应用于公用服务事业而产生了“排除论”，应用于通讯技术而产生了“信息论”，应用于自动化生产了“控制论”，以及应用于生产和计划组织而产生了“随机运筹学”等。此外，概率论还向已有的数学分支渗透并产生了随机微分方程、随机几何学以及随机积分等边缘学科。

现代概率论已经是一个非常庞大的数学分支。

在这里需要说明的是，概率概念虽被各国广大科技工作者接受并广泛地应用，然而自它产生以来，在不同的历史时期以及在不同的科学家那里，对它的理解并不完全相同，一些人提出的解释被另一些人所批评。今天，并没有一个被所有数理统计学家都接受的解释，争议不断。统计学中由于观点不同，形成了各种学派：

贝叶斯学派、频率学派、信念学派。其主要学派早在十九世纪就存在的频率学派（即经典学派）和贝叶斯学派。

贝叶斯学派：贝叶斯学派的奠其人是贝叶斯，但形成学派是本世纪的事，经意大利的菲纳特、英国的杰弗莱、林德莱等人的努力，形成了系统的方法和学说，日益受到人们的重视，影响正在逐渐扩大，并渗透到非统计的领域，2024年如开了第一届国际贝叶斯分析大会。贝叶斯学派的观点受到非贝叶斯学派的猛烈攻击而处于劣势，致使研究工作降至冰点。

随着统计学广泛应用于自然科学、经济研究、心理学、市场研究等领域，人们逐渐发现了贝叶斯方法的合理部分，终于在本世纪六十年代，这一古老理论得以复苏，史密斯教授在2024年曾预言：“到本世纪末，贝叶斯理论加上计算机的图示，将成为现代统计实践中最爱欢迎的形式”。不论这一预言是否偏颇，但近年来贝叶斯统计学的发展确实很快。

频率学派（或称为经典学派、抽样学派）：频率学派是以奈曼为代表的学派，美国加州大学伯克利分样是她的基地，所以在一些**中称频率学派的专家为“伯克利们”，这一学派在本世纪30年代形成，目前是影响最大的学派。

信念学派：信念学派的创始人是费歇（fisher）他在自己的**和书中不断阐述自己的看法 ,后人整理并加以系统化 ,60年代以后这方面的研究越来越少。然而信念学派提出的一些方法却对统计发展有很大的影响 ,如似然函数、枢轴统计量等。

这三大学派的观点、方法 ,重要的差别大致上有两方面对概率的解释和理解 ,对统计问题的看法和处理。

1）对概率的解释和理解。

经典学派认为概率就是长期试验中频率稳定性所反映的真值 ,坚持用频率的现象去解释概率所陈述的命题 ,所以又称为频率学派。它认为概率是客观的 ,是事物的一种属性 ,人们对事物认识的不确定性也应该用频率的稳定性来解释。例如对置信区间的置信概率的理解就是重复使用多次 ,置信区间盖住真实参数发生的频率与置信概率相近。

贝叶斯学派认为概率不能只用频率的稳定性来解释和理解。这一派认为概率也反映了人们对某些事物认识的不确定性的程度，可以由人的经验、知识来作出判断 ,不需要藉助频率的稳定性 ,例如掷一枚硬币 ,正面朝上还是反面朝上 ,机会各为1/2 ,这并不需要做成千上百次试验 ,而从质量的均匀性就能判断。

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