第一章随机事件及其概率。
1.1 随机事件。
为了研究随机现象，就要对客观事物进行观察，观察过程称为试验。这里所研究的试验具有下列特点：
1 在相同条件下，试验可重复进行。
2 每次试验结果具有多种可能性，试验之前可以确定试验的所有可能结果。但是不能准确地预言试验将出现那种结果。
一．随机事件的概念。
1. 事件：试验结果称为事件。
2. 随机事件：在每次试验中可能发生，也可能不发生，而在大量试验中具有某种规律性的。
事件称为随机事件，通常用a、b、c等大写字母表示。
3. 基本事件：在随机事件中，有些可以看成是由某些事件复合而成，而有些则不能，这种。
不能分解成其它事件组合的最简单的随机事件称为基本事件。
4. 必然事件与不可能事件：每次试验中一定发生的事件称为必然事件，用ω表示。
每次实验中一定不发生的事件称为不可能事件，用φ表示。
关系：在相同的条件下，每次实验中若某个结果必然发生，那么它的反面就一定不发生，如扔一个骰子时，“点数小于7”是必然事件，但它的反面就是不可能事件。
注意：1 不论必然事件，不可能事件还是随机事件都是相对一定的试验条件而言，若条件变了，事件的性质也会变。如扔一个骰子时，“点数小于7”是必然事件，但扔10个骰子时“点数之和小于7”就是不可能事件。
必然事件与不可能事件是随机事件的两个极端情况。
二．事件的表示。
为了方便，可以用点集或图示来表示事件。
基本事件：用包含一个元素ω的单点集表示。
由若干个基本事件复合而成的事件：，其中表示某个基本事件，为其对应元素。
由所有基本事件所对应的元素构成的集合称为样本空间，每个元素称为样本点，样本空间作为一个事件是必然事件，仍记为ω。于是某个随机事件对应到样本空间的某个子集。
不可能事件就是ф。
三．事件间的关系与运算。
1.事件的包含：称b包含a或a包含于b。
或逆否命题：）
2.事件的相等：事件a包含于b，事件b也包含于a，称a与b相等。
3.事件的并（和）
事件a、b中至少有一个发生，即“a或b”，这是一个事件称为a与b的并（和）。记为。
n个事件中至少有一个发生，这是一个事件，称为的并（和），记为。
类似地，可列个事件的并（和）表示可列个事件中至少有一个发生，记为。
4.事件的交（积）
两个事件a与b同时发生，即“a且b”，这是一个事件，称为a与b的交（积）。
记为。5．事件的差。
事件发生而事件不发生，这是一个事件，称为与的差，记为。
6．互不相容事件。
事件a与b不能同时发生，即，称与b互不相容（或互斥）。
若，则称与b是相容的。
显然基本事件是不相容的。
7．对立事件。
事件“非”称为事件的对立事件（或逆事件），记为，。
显然，，，8．完备事件组。
设为两两互不相容的事件，并且，则称构成一个完备事件组。
例1 掷一颗骰子实验，观察出现的“点”数：事件表示“基数点”；表示“点数小于5”；表示“小于5的偶数点”，求。解：，，
例2 一名射手连续向某个目标射击三次，事件表示该射手第次射击中目标。试用文字叙述下列事件：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）。
解：（1）前两次至少有一次击中目标。
2）第二次没有击中目标。
3）三次中至少有一次击中目标。
4）三次均击中目标。
5）第三次击中目标，而第二次没有击中。
6）第三次击中目标，而第二次没有击中。
7）前两次均未击中目标。
8）前两次均未击中目标。
9）后两次至少有一次未击中目标。
10）后两次至少有一次未击中目标。
11）三次中至少有两次击中目标。
例3 如果x表示一个沿数轴做随机运动的质点的位置，试说明下列各事件的关系。，
解各事件的图示如下：
从图示知：，与是对立事件；
与，与不相容；
与，与，与，与，与，与，与相容。
1.2概率。
一。 概率的统计定义。
1. 事件发生的频率。
在次实验中，事件发生了次，则称为事件发生的频率。
若是必然事件，则，的频率是1，不可能事件的频率是0，故事件发生的频率介于0与1之间。
若与互不相容，的频率是，的频率为，则的频率为。
2. 概率的统计定义。
在相同的条件下，重复进行n次试验，事件a发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动，且一般说来，n越大，摆动幅度越小，则称常数p为事件a的概率，记为p(a)。
注意：这里，是通过大量试验来确定事件a发生的概率，但实质上，一个事件的发生的概率是由本身的结构决定的，是先于试验而客观存在。
二概率的古典定义。
概率的古典定义：若试验结果一共由n个基本事件组成，并且这些事件的出现有相同的可能性，而事件a由其中某m个基本事件组成，则事件a的概率可以用下式计算：
这里构成一个等概率完备事件组。
三．计算概率的例题。
例1 袋内有5个白球与3个黑球。从中任取两个球，计算取出的两个球都是白球的概率。
解 例2 一批产品共200个，有6个废品，求（1）这批产品的废品率；（2）任取3个恰有1个是废品的概率；（3）任取3个全非废品的概率；解 （1）
例3 两封信随机地向标号为ⅰ、ⅱ的4个邮筒投寄，求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率及第两个邮筒各有一封信的概率。
解 1.3概率的加法法则。
例1 100个产品中有60个一等品，30个二等品，10个废品。规定一，二等品都为合格品，考虑这批产品的合格率与一，二等品率之间的关系。
设事件a，b分别表示产品为一，二等品。显然a与b互不相容，且a+b表示产品为合格品，则。
例2 一批产品共200个，有6个废品产品，任取3个产品最多只有1个废品的概率p（b）。
设表示任取3个产品中只有0个废品，表示任取3个产品中只有1个废品，则与互不相容。
加法法则：两个互不相容（或者互斥）事件之和的概率等于它们的概率之和。即。
推论：1）若n个事件两两互不相容，则。
（概率的有限可加性）
若可列个事件两两互不相容，则。
概率的可列或者完全可加性）
2）若n个事件构成一个完备事件组，则他们的概率和为1。
即。事实上，
特别地，取n=2，则是一个完备事件组，则，有。
或者。或写为。
事实上，由及互不相容有。
从而。4）对任意两个事件a，b有 （广义加法公式）
若。例3 产品有一，二等品及废品3种，若一，二等品率分别为0.63及0.35，求产品的合格率与废品率。
解令a表示合格产品，表示一，二等品，则且互不相容，则
例4 一个袋内装有大小相同的7个球，4个是白球，3个为黑球。从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率。
解设a2表示有两个球是白球，a3表示有三个球是白球，设a表示至少有两个是白球，于是a=a2+a3，且a2与a3互不相容，从而。
故至少有两个是白球的概率为22/35
例5 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取3个，求其中有废品的概率。
解设a表示3个中有废品，则表示3个无废品，于是。
注由上面的讨论知，概率应具备三个基本属性：
1）对任何随机事件a，
3）若可列个事件两两互不相容，则。
我们规定这三条为公理，它是建立概率论的出发点。
1.4 条件概率与乘法法则。
一．条件概率。
定义：在事件b已经发生的条件下，事件a发生的概率称为a在给定b下的条件概率。简称为a对b的条件概率，记为p(a|b)，把p(a)称为无条件概率。（这里p(b)>0）.
例1 市场上**的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%。若用分别表示甲、乙两厂的产品，b表示产品的合格品，求。
解 ， 对于一般情况下任意两个事件，只要有关的条件概率有意义，事件b对a（p(a)>0）的条件概率p(b|a)可定义为：
二．乘法法则。
1 由条件概率的公式可知：
从而， 2 乘法法则：两个条件之交的概率等于其中任何一个（其概率不为0）的概率乘以另一个事件在前一个事件发生下的条件概率。即。
关于n个事件的乘法公式为：
用归纳法可证：）
例2 市场上**的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%，表示甲厂的产品，表示乙厂的产品，b表示产品的合格品，求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率。
解从市场上买到的这个灯泡即是甲厂生产的，又是合格品，也就是求a，b同时发生的概。
率，于是。同理，从市场上买到一个乙厂合格灯泡的概率是：
不能用1-p(ab) 表示，因虽然与ab互不相容，但不是ab的对立事件。
同理，买到一个灯泡是乙厂生产的废品的概率为：
是甲厂生产的废品的概率为：
例3 10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次，丙最后。求甲抽到难签，甲乙都抽到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签，以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。
解设a，b，c分别表示甲、乙、丙各抽到难签，于是。
三．全概率定理与贝叶斯定理。
定理1.1（全概率定理）如果事件构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任何事件b，有。
事实上，由于两两互不相容，故aib (i=1,2,…)也两两互不相容。而。
由加法法则有。
定理1.2若构成一个完备事件组，且它们都具有正概率，则对任何一个概率不为0的事件b，有。
(m=1,2,…)贝叶斯公式。
事实上， 例7 假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种螺钉，产品依次占全厂的%。如果各车间的次品率依次为%。现从待出厂产品中检查出1个次品，试判断它是有甲车间生产的概率。
解设事件b表示“产品为次品”，a1、a2、a3分别表示产品有甲、乙、丙车间生产的。显然。
a1、a2、a3构成一个完备事件组。，
则由贝叶斯公式：
求任取一个该厂生产的合格品，恰好是甲厂生产的概率：
注意：使用全概率公式与贝叶斯公式时应注意的事项：
1）全概率公式是把复杂的事件概率分解为较简单的事件的概率计算。
2）而贝叶斯公式往往用于从结果分析原因时的概率计算，帮助我们追查事件的起因。
3）使用两个公式时，对样本空间进行划分，划分后的事件组必须是完备事件组。
1.5 独立试验概型。
一事件的独立性。
1．两个事件相互独立。
概率论概率论X2019答案
华南农业大学期末考试试卷答案。2010 2011学年第 1 学期考试科目 概率论与数理统计 一 填空题 本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15分 1 若，则。2 设随机变量的概率密度为，以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数，则。3 设由来自正态总体容量为9的简单随机样本，得到样本均值，则...
概率论课程概率论教学大纲
课程编号 06603制定单位 统计学院制定人 执笔人 徐慧植审核人 任俊柏。制定 或修订 时间 2012年9月1日。江西财经大学教务处。概率论 课程教学大纲。一 课程总述。本课程大纲是以2010年统计学 金融学专业本科专业人才培养方案为依据编制的。课程名称英文名称课程性质总学时数开课院系编写人课程负...
《概率论与随机过程》概率论部分习题
概率论与随机过程 概率论部分习题。一 设a b c为三事件，用a b c运算关系表示下列事件 1 a发生，b与c不发生。2 a b c中至少有一个发生。3 a b c中至少有两个发生。4 a b c中不多于一个发生。二 填空。1 设a b为两个事件，且，则。2 若事件a发生必导致事件b发生，且 3 ...