全国卷2
1．（2015·6）一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
abcd.
2．（2015·10）已知a、b是球o的球面上两点，∠aob=90，c为该球面上的动点。 若三棱锥o-abc体积的最大值为36，则球o的表面积为（ ）
a. 36b. 64c. 144d. 256π
3．（2014·6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
abcd．
4．（2014·7）正三棱柱abc-a1b1c1的底面边长为2，侧棱长为，d为bc中点，则三棱锥a-b1dc1的体积为（ ）
a．3 b． c．1 d．
5．（2013·9）一个四面体的顶点在空间直角坐标系o-xyz中的坐标分别是(1, 0, 1), 1, 1, 0), 0, 1, 1), 0, 0, 0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zox平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）
6．（2012·7）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
a．6 b．9 c．12 d．18
7．（2012·8）平面α截球o的球面所得圆的半径为1，球心o到平面α的距离为，则此球的体积为（ ）
ab．4π c．4π d．6π
9．（2013·15）已知正四棱锥o-abcd的体积为，底面边长为，则以o为球心，oa为半径的球的表面积为___
11．（2015·19）如图，长方体abcd-a1b1c1d1中ab=16，bc=10，aa1=8，点e，f分别在a1b1，d1c1上，a1e=d1f=4，过点e，f的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（ⅰ在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值。
12．（2014·18）如图，四棱锥p-abcd中，底面abcd为矩形，pa⊥平面abcd，e为pd的点。
ⅰ）证明：pb //平面aec；
ⅱ）设ap=1，ad=，三棱锥p-abd的体积v=，求a点到平面pbd的距离。
13．（2013·18）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点。
ⅰ）证明：平面；
ⅱ）设，，求三棱锥的体积。
14．（2012·19）如图，三棱柱abc－a1b1c1中，侧棱垂直底面，∠acb=90°，，d是棱aa1的中点。
ｉ) 证明：平面bdc1⊥平面bdc；
ⅱ）平面bdc1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。
全国卷13．(2013.11)某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）
ab）cd）
4．（2014.8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
a.三棱锥 b.三棱柱 c.四棱锥 d.四棱柱。
5．（2015.6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：
积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？
”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）
a）斛 （b）斛 （c）斛 （d）斛。
6．（2015.11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则( )
a） （b） （c） （d）
7．（2016.7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径。若该几何体的体积是，则它的表面积是。
a）17π （b）18π （c）20π （d）28π
8．（2016.11）平面过正方体abcd—a1b1c1d1的顶点a，,，则m，n所成角的正弦值为。
abcd）10．(2013.19)如图，三棱柱中，，，
ⅰ）证明：；
ⅱ）若，，求三棱柱的体积。
11．（2014.19）如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面。
1）证明：
2）若，求三棱柱的高。
12．（2015.18）如图四边形abcd为菱形，g为ac与bd交点，ⅰ）证明：平面平面；
ⅱ）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积。
13．（2016.18）如图，已知正三棱锥p-abc的侧面是直角三角形，pa=6，顶点p在平面abc内的正投影为点d，d在平面pab内的正投影为点e，连结pe并延长交ab于点g.
ⅰ）证明：g是ab的中点；
ⅱ）在图中作出点e在平面pac内的正投影f（说明作法及理由），并求四面体pdef的体积．
14．(2013.15)已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为___
模拟题过关。
19、（2024年南昌第一次模拟）如图，是圆的直径，、是圆上两点，，圆所在的平面，，点**段上，且．
求证：平面；
求异面直线与所成角的余弦值．
全国卷2参***。
1．d 2．c 3．c 4．c 6. b 7. b 9.
11．解析：（ⅰ交线围成的正方形ehgf如图：
（ⅱ）作em⊥ab，垂足为m，则am=a1e=4，eb1=12，em=aa1=8.因为ehgf为正方形，所以eh=ef=bc=10.于是mh=.
因为长方体被平面分为两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为（也正确）.
12．解析：（ⅰ设ac的中点为o， 连接eo. 在三角形pbd中，中位线eo//pb，且eo在平面aec上，所以pb//平面aec.
ⅱ）∵ap=1，，，作ah⊥pb角pb于h，由题意可知bc⊥平面pab，∴bc⊥ah，故ah⊥平面pbc．又，故a点到平面pbc的距离。
13．解析：（ⅰ连结ac1交a1c于点f，则f为ac1中点．又d是ab中点，连结df，则bc1∥df. 因为df平面a1cd， bc1平面a1cd，所以bc1∥平面a1cd.
ⅱ）因为abc－a1b1c1是直三棱柱，所以aa1⊥cd. 由已知ac＝cb，d为ab的中点，所以cd⊥ab. 又aa1∩ab＝a，于是cd⊥平面abb1a1.
由aa1＝ac＝cb＝2，得∠acb＝90°，，a1e＝3，故a1d2＋de2＝a1e2，即de⊥a1d. 所以。
14. 解析：（ⅰ由题设知bc⊥cc1，bc⊥ac，cc1∩ac=c,∴bc⊥面acc1a1，又∵dc1面acc1a1，∴dc1⊥bc，由题设知∠a1dc1=∠adc =45，∴∠cdc1=90,即dc1⊥dc，又∵dc∩bc=c, ∴dc1⊥面bdc，∵dc1面bdc1，∴面bdc⊥面bdc1 .
ⅱ）设棱锥b-dacc1的体积为， =1，由题意得，，由三棱柱abc-a1b1c1的体积，∴，平面bdc1分此棱柱为两部分体积之比为1:1.
全国卷1参***。
3．a； 4．b 5．b 6．b 7．a 8．a
10．（1）取ab的中点o，连接、、，因为ca=cb，所以，由于ab=a a1，∠ba a1=600，所以，所以平面，因为平面，所以ab⊥a1c；
2）因为因为为等边三角形，所以，底面积，所以体积。
11．试题解析：（1）连结，则o为与的交点。
因为侧面为菱形，所以。
又平面，所以，故平面abo.
由于平面abo，故。
2）作，垂足为d，连结ad，作，垂足为h.
由于，，故平面aod，所以，又，所以平面abc.
因为，所以为等边三角形，又，可得。
由于，所以，由，且，得，又o为的中点，所以点到平面abc的距离为。
故三棱柱的高为。
12．（ⅰ因为四边形abcd为菱形，所以acbd，因为be平面abcd，所以acbe，故ac平面bed.
又ac平面aec，所以平面aec平面bed
ⅱ）设ab=，在菱形abcd中，由abc=120°，可得ag=gc=,gb=gd=.
因为aeec，所以在aec中，可得eg=.
由be平面abcd，知ebg为直角三角形，可得be=.
由已知得，三棱锥e-acd的体积。故=2
从而可得ae=ec=ed=.
所以eac的面积为3，ead的面积与ecd的面积均为。
故三棱锥e-acd的侧面积为。
13．（ⅰ因为在平面内的正投影为，所以。
因为在平面内的正投影为，所以。
所以平面，故。
又由已知可得，，从而是的中点。
ⅱ）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影。
理由如下：由已知可得，，又，所以，因此平面，即点为在平面内的正投影。
连结，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心。
由（ⅰ）知，是的中点，所以在上，故。
由题设可得平面，平面，所以，因此。
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得
在等腰直角三角形中，可得。
所以四面体的体积。
模拟题答案解：（ⅰ作于，连接， ∥
是圆的直径，2分。
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