2010山东卷文科数学20题。
本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形是正方形，,,分别为、的中点，且。
ⅰ) 求证：平面；
ⅱ)求三棱锥。
答案：（i）证明：由已知。
所以 又 ，所以
因为四边形为正方形，所以 ,又 ，因此
在中，因为分别为的中点，所以
因此 又 ，所以 .
ⅱ ）解：因为，四边形为正方形，不妨设，则 ，所以·
由于的距离，且。
所以即为点到平面的距离，三棱锥
所以 分析：知识层面本题主要考查空间中的线面关系，考查线面垂直、面面垂直的判定及几何体体积的计算；能力层面本题主要考查读图能力、空间想象能力和逻辑思维能力；思想方法层面主要考察了转化思想，把面面垂直问题转化为线面垂直问题。本题难度较小，主要考察考生对基础知识的掌握程度对空间结构的思维能力要求较高，能够找到四凌锥合适的底面和高，同样在证明面面垂直的时候，也要能够找到合适的线和面，再利用相应的定理或公理证明，否则无法完成证明。
2024年山东卷文科数学19题。
如图，在四棱台abcd-a1b1c1d1中，d1d⊥平面abcd,底面abcd是平行四边形，ab=2ad,ad=a1b1,∠bad=60°.
1)证明：aa1⊥bd;
2)证明：cc1∥平面a1bd
答案：19.证明：(1)证法一：因为d1d⊥平面abcd,且bd平面abcd,所以d1d⊥bd.
又因为ab=2ad,∠bad=60°,在△abd中，由余弦定理得bd2=ad2+ab2-2ad·abcos 60°=3ad2,所以ad2+bd2=ab2.因此ad⊥bd.
又ad∩d1d=d,所以bd⊥平面add1a1.
又aa1平面add1a1,故aa1⊥bd.
证法二：因为d1d⊥平面abcd,且bd平面abcd.
所以bd⊥d1d.
取ab的中点g,连接dg,在△abd中，由ab=2ad得ag=ad.
又∠bad=60°,所以△adg为等边三角形，因此gd=gb.
故∠dbg=∠gdb,又∠agd=60°,所以∠gdb=30°.
故∠adb=∠adg+∠gdb=60°+30°=90°.
所以bd⊥ad.
又ad∩d1d=d,所以bd⊥平面add1a1.
又aa1平面add1a1,故aa1⊥bd.
2)连接ac,a1c1.
设ac∩bd=e,连接ea1.
因为四边形abcd为平行四边形，所以ec=ac.
由棱台定义及ab=2ad=2a1b1知a1c1∥ec且a1c1=ec.
所以四边形a1ecc1为平行四边形。
因此cc1∥ea1.
又因为ea1平面a1bd,cc1平面a1bd.
所以cc1∥平面a1bd.
分析：在知识层面本题主要考察了线面垂直定理和由线面垂直退出线线垂直的推理，通过含角直角三角形的性质得到线线垂直，还有线面平行的证明方法；在能力方面主要考察了空间想象能力和推理论证能力，要求能够找到合适的线和面，还要通过严谨的推理得到线线垂直，第二小题则对空间想象能力的要求较高对于不能直接从题目和图中得到的关系要懂得、能够作出合适的辅助线，将所求转化成另外的线或面之间的关系；在思想方法层面主要考察了转化思想，要求能够将间接或者没有关系的线和面转化为能够直接证明的线面关系，进而推理得到证明结果。
2024年山东卷文科数学19题。
(本小题满分12分)
如图，几何体是四棱锥，△为正三角形，.
ⅰ)求证：；
ⅱ)若∠，m为线段ae的中点，求证：∥平面。
答案：(i)设中点为o，连接oc，oe，则由知，又已知，所以平面oce.
所以，即oe是bd的垂直平分线，所以。
ii)取ab中点n，连接，m是ae的中点，∴∥是等边三角形，∴.
由∠bcd＝120°知，∠cbd＝30°，所以∠abc＝60°+30°＝90°，即，所以nd∥bc，所以平面mnd∥平面bec，故dm∥平面bec.
分析：在知识层面本题主要等腰三角形三线合一的逆运用、由面面平行推出线面平行的定理和垂直同一直线的两直线平行定理；在能力方面考察了空间想像能力（通过作辅助线构造三角形或平面）、推理论证能力；在思想方法层面则主要考察了转化思想，能够把一些间接关系转化为直接关系，例如把两直线平行转化为垂直同一直线的两直线平行，把线面平行转化为面面平行。
2024年山东高考文科数学19题。
本小题满分12分)如图，四棱锥p－abcd中，ab⊥ac，ab⊥pa，ab∥cd，ab＝2cd，e，f，g，m，n分别为pb，ab，bc，pd，pc的中点．
1)求证：ce∥平面pad；
2)求证：平面efg⊥平面emn.
答案：1)证法一：取pa的中点h，连接eh，dh.
因为e为pb的中点，所以eh∥ab，eh＝.
又ab∥cd，cd＝，所以eh∥cd，eh＝cd.
因此四边形dceh是平行四边形，所以ce∥dh.
又dh平面pad，ce平面pad，因此ce∥平面pad.
证法二：连接cf.
因为f为ab的中点，所以af＝.
又cd＝，所以af＝cd.
又af∥cd，所以四边形afcd为平行四边形．
因此cf∥ad.
又cf平面pad，所以cf∥平面pad.
因为e，f分别为pb，ab的中点，所以ef∥pa.
又ef平面pad，所以ef∥平面pad.
因为cf∩ef＝f，故平面cef∥平面pad.
又ce平面cef，所以ce∥平面pad.
2)证明：因为e，f分别为pb，ab的中点，所以ef∥pa.
又ab⊥pa，所以ab⊥ef.
同理可证ab⊥fg.
又ef∩fg＝f，ef平面efg，fg平面efg，因此ab⊥平面efg.
又m，n分别为pd，pc的中点，所以mn∥cd.
又ab∥cd，所以mn∥ab.
因此mn⊥平面efg.
又mn平面emn，所以平面efg⊥平面emn.
分析：知识层面本题主要考察了线面平行的定理和面面垂直的判定，利用线面垂直得到面面垂直；在能力方面主要考察了空间相像能力和推理论证能力能够通过作辅助线将间接关系转化为已知关系，如通过构造平行四边形证明线线平行；在思想方法方面主要考察了转化思想，能够将间接关系转化为直接关系，如将线面平行转化为线线平行，再转化为证明四边形为平行四边形，通过推理证明线面平行。
2024年山东高考文科数学18题。
本小题满分12分）
如图，四棱锥中， ,分别为线段的中点。
ⅰ）求证：
ⅱ）求证：
答案：ⅰ）连接ac交be于点o，连接of，不妨设ab=bc=1,则ad=2
四边形abce为菱形。又。
分析：本题在知识层面主要考察了线面平行的判定，其中涉及到中位线定理，还有线面垂直的逆定理，由线面垂直得到线线垂直，线面垂直的判定，由垂直平面内两相交直线的直线垂直这一平面得到线面垂直。在能力方面主要考察了空间相像能力，能够找到能够直接证明的线面之间的关系，还有推理论证能力；在思想方法层面主要考察了转化思想，能够将间接关系转化为直接关系，如将线面平行转化为线线平行，将线面垂直转化为线线垂直。
总结性分析。
通过对近五年山东高考文科数学立体几何大题的分析，可以知道山东高考立体几何方面注重对基础知识的考察，没有太多的新意、偏题或难题但对于知识面要求比较全面，对空间思维能力和一些定理的逆向思维比较注重。五年的高考题都考察了线面之间的关系，说明这一关系在立体几何方面的重要性，在接下来的高考中应该还会加强对这方面知识的考察。另外对于转化思想的考察比较注重，需要通过合适的辅助线将一些间接关系进行转化，从而通过一些定理、公理证明相关结论。
山东高考对与立体几何的考察重基础、重逻辑转化思维，难度较低。按照前几年的命题趋势，相信不会有太大的改变，应该还会注重基础，特别是线面之间的关系，常把线面关系作为突破口，进而通过推理得到其它结论。作为教师备课或者考生备考都不应舍本求末偏离基础，只要牢牢掌握基础知识，通过辅助线的作用，通过相关关系的转化，要完成这类题目并不困难。
另外要培养严谨的逻辑思维能力，在证明过程中要求符合逻辑思维，善于利用定理、公理还有一些性质的逆运用。总之，山东卷对于立体几何的考察属于基础知识考察，题目难度中档偏低，短时间内不会改变命题趋势。
高考数学 文科 题型复习 立体几何
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山东高考数学立体几何部分命题研究 文科
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2019高考文科数学立体几何
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