第二课时：多面体与旋转体部分知识梳理及重要题型。
目的要求：对本章简单几何体知识进行梳理和总结，突出知识间的联系，提高学生综合运用知识的能力和逻辑思维能力。
内容分析：1、这部分主要涉及棱柱、棱锥、多面体和球的知识。其内容大致可分为定义、分类、性质、面积和体积几个方面。
除此之外还有简单多面体的欧拉公式、球面上两点间的球面距离等重要概念、定理，这些知识牵涉的面很广，但并不十分复杂，有些内容可用类比法进行复习。然而复习中一定要弄清楚，不可混淆。
2、如果说前节课所复习的知识还是一些立体图形的元件的话，那么本课所复习的内容就是几何体了。应当说，这节课的空间观念更综合、更形象了。复习中也应该重视画图、识图（包括图形的综合和分解）.
只有做到这一点，学生才会把图形在头脑中“立体化”.复习中这个任务依然应予以重视。
3、球的体积和表面积计算公式所涉及的重要数学思想方法是数学教学的重要内容，但教学目标仅为了解，而且新授不久，因此，在这次复习中不是重点，复习的重点是各种几何体的基本性质。
4、与前节课一样，本课作为复习课，应有针对性，所以重点、难点的确定和内容的调整应根据学生学习中掌握的情况而定。
教学过程：1、内容小结。
1）针对简单几何体的知识内容，教师预先拟订提纲，让学生课前按提纲进行复习。提纲可按教科书的学习要求和需要注意的问题中学习要求拟定。
2）课堂复习中，让学生比较棱柱、棱锥、球三种几何体的形状、表面、截面、面积、体积，比较前两种几何体的分类、直观图的画法。
3）让学生填写下表。
2、应用举例。
例题1 如图8－3，三棱锥p—abc中，△abc是正三角形，∠pca=90°，d为pa的中点，二面角p—ac—b为120°，pc=2，ab=2。
1）求证：ac⊥bd；
2）求bd与底面abc所成的角（用反正弦表示）；
3）求三棱锥p—abc的体积。
解 （1）如图8－4，取ac中点e，连de、be，则de∥pc，pc⊥ac，∴de⊥ac。
△abc是正三角形，∴be⊥ac。
又de平面deb，be平面deb，de∩be=e，∴ac⊥平面deb。
db平面deb，∴ac⊥db。
2）法一：∵ac⊥平面deb，ac底面abc，∴平面deb⊥底面abc，∴eb是db在底面abc内的射影，∠dbe是bd与底面abc所成的角。
又∵de⊥ac，be⊥ac，∴∠deb即为二面角p—ac—b的平面角。
在△deb中，∵de=pc=1，be=ab=3，由余弦定理，得 bd2=12+32 – 2×1×3cos120°=13，bd=，由正弦定理，得=，解得sin∠dbe=，即bd与底面abc所成的角为arcsin。
法二：∵ac⊥平面deb，ac平面abc。∴平面deb⊥平面abc，作df⊥平面abc，f为垂足，则f在be的延长线上，∠dbf是bd与平面abc所成的角。
∵de⊥ac，be⊥ac，∴∠deb是二面角p—ac—b的平面角。在rt△dbf中，de=pc=1，be=ab=3，deb=120°，∠def=60°，df=。
在△deb中，由余弦定理得bd=，sin∠dbf==，故bd与底面abc所成的角为arcsin。
3）∵ac⊥平面deb，ac平面pac，平面deb⊥平面pac，∴过点b作平面pac的垂线段bg，垂足g在de的延长线上。
在rt△beg中，∠beg=60°，be=3，∴bg=，vp—abc=vb—pac=s△pac×bg=××3。
例题2 如图8－5，三棱锥p—abc中，已知pa⊥bc，pa=bc=l，
pa、bc的公垂线de=h，求三棱锥p—abc的体积。
分析：思路一直接求三棱锥p—abc的体积比较困难。考虑到de
是棱pa和bc的公垂线，可把原棱锥分割成两个三棱锥p—
ebc和a—ebc，利用pa⊥截面ebc，且△ebc的面积易。
求，从而体积可求。
解如图8—5—1，连结be，ce。∵de是pa、bc的公垂线，∴pa⊥de。又pa⊥bc，∴pa⊥截面ebc。
∴vp—ebc=s△ebc·pe，va—ebc=s△ebc·ae。∵de⊥bc，s△ebc=bc·de=lh,∴vp—abc=vp—ebc+va—ebc=s△ebc·（pe+ae）
pa·s△ebc=l2h。
注本例的解法称为分割法，把原三棱锥分割为两个三棱锥，它们有公共的底面△ebc，而高的和恰为pa，因而计算简便。
思路二本题也可用补形法求解。
解如图8－5－2，将△abc补成平行四边形abcd，连结pd，则pa⊥ad，且bc∥平面pad，故c到平面pad的距离即为bc和平面pad的距离。
mn⊥pa，又mn⊥bc，bc∥ad，∴mn⊥ad， mn⊥平面pad。
故 vp—abc=vp—adc=vc—pad=s△pad·mn=（·pa·ad）·mn=l2h。
注本题的解法称为补形法，将原三棱锥补形成四棱锥，利用体积互等的技巧进行转换，以达到求体积的目的。
本题也可将三棱锥补成三棱柱求积。想一想，怎样做？
例题3 如图8－17，已知正四棱柱abcd—a1b1c1d1，点e在棱d1d上，截面eac∥d1b，且面eac与底面abcd所成角为45°，ab=a。
1）求截面eac的面积；
2）求异面直线a1b1与ac之间的距离；
3）求三棱锥b1—eac的体积。（2024年全国高考试题）
解 （1）如图8－18，连结db交ac于o，连结eo。
底面abcd是正方形，∴do⊥ac。又∵ed⊥底面ac，∴eo⊥ac。
∠eod就是面eac与底面ac所成的二面角的平面角，∠eod=45°。
又do=a, ac=a, eo=asec45°=a,故s△eac=a2。
2）由题设abcd—a1b1c1d1是正四棱柱，得a1a⊥底面ac，a1a⊥ac。
又a1a⊥a1b1，∴a1a是异面直线a1b1与ac之间的公垂线。
d1b∥面eac，且面d1bd与面eac交线为eo，d1b∥eo。又o是db的中点，∴e是d1d的中点，d1b=2eo=2a。
d1d==a，即异面直线a1b1与ac之间的距离为a。
3）法一：如图8－18，连结d1b，∵d1d=db=a,∴四边形bdd1b1是正方形。
连结b1d交d1b于p，交eo于q。∵b1d⊥d1b，eo∥d1b，∴b1d⊥eo。
又ac⊥eo，ac⊥ed，∴ac⊥面bdd1b1，∴b1d⊥ac，b1d⊥面eac。则b1q是三棱锥b1—eac的高。
由dq=pq得b1q= b1d=a,=·a 2·a =a 3。
所以三棱锥b1—eac的体积是a 3。
法二：连结b1o，则∵ao⊥面bdd1b1，ao是三棱锥a—eob1的高，且ao=a。
在正方形bdd1b1中，e、o分别是d1d、db的中点（如图8－19），则=a2。
2××a 2×a=a 3。所以三棱锥b1—eac的体积是a 3。
例题4 如图8－6，在四棱锥p—abcd中，底面abcd是边长为a的正方形，并且pd=a, pa=pc=a。
1）求证：pd⊥平面abcd；
2）求异面直线pb与ac所成的角；
3）求二面角a—pb—d的大小；
4）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径。
解 （1）pc=a，pd=dc=a,△pdc是rt△，且pd⊥dc。
同理，pd⊥ad。
而ad∩dc=d，∴pd⊥平面abcd。
2）如图8－7，连bd，∵abcd是正方形，bd⊥ac。
又∵pd⊥平面abcd。
bd是pb在平面abcd上的射影。
由三垂线定理，得pb⊥ac。
pb与ac成90°角。
3）设ac∩bd=o，作ae⊥pb于e，连oe。
ac⊥bd，又pd⊥平面abcd，ac平面abcd。
pd⊥ac。
而pd∩bd=d，∴ac⊥平面pdb，则oe是ae在平面pdb上的射影。
由三垂线定理逆定理知oe⊥pb，∴∠aeo是二面角a—pb—d的平面角。
pd⊥平面abcd，da⊥ab。∴pa⊥ab。
在rt△pab中，ae·pb=pa·ab。
又ab= a ，ap=a，pb==a，ae=a。 又ao=a，∴sin∠aeo==,aeo=60°
二面角a—pb—d的大小为60°。
4）设此球半径为r，最大的球应与四棱锥各个面相切，球心为s，连sa、sb、sc、sd、sp，则把此四棱锥分为五个小棱锥，它们的高均为r。
由体积关系，得vp—abcd=r（s△pdc+ s△pda+ s△pbc+ s△pab+ s正方形abcd）
r（++a2+a2 + a2）。
又∵，∴r(2a2+a2)= a3 ∴r==。
例题5 三棱锥，求这个三棱锥的体积。
分析：由题设。
考查方向：考查三棱锥体积的常用求法。
分析一：作点p在底面上的射影o，求po和三角形abc的面积；,分析二：注意到pa＝ab且。
分析三：割法、补法。
解法一：（用公式法解）如图，作底面三角形顶角a的平分线ad，交bc于d，过p点作底面的垂线，垂足为o，由分析知射影o必在ad上，易知△abc是正三角形，ab=2a，解法二：（利用等积转换法解）在△pab中。
解法三：（用分割求积法解）
解法四：（用补形求积法解）延长ap到q，使pq=a，连结qb、qc，可得一个棱长为2a的正四面体。
例题6 过半径为r的球面上一点作两两垂直的弦sa、
sb、sc。
1）求证：为定值；
2）求三棱锥的体积的最大值。
解题：1）如图2，设sa、sb确定的平面截球面为球小圆o1
∴ ab为小圆直径，连结so1并延长交小圆于d，连结sd。
又由sd平面sab
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