高二年级数学期末复习讲与练。
立体几何。一、基本概念。
1、平面三公理。
2、异面直线。
1）异面直线a、b所成角范围：
2）异面直线a、b公垂线异面直线间的距离：
3、线面角。
1）直线与平面所成角范围是斜线与平面所成角。
范围是。2）oa是平面α的斜线，ab是oa在平面射影，∠oab=θ1，∠bac=θ2，∠oac=θ，则之余弦定理为。
4、射影结论。
1）pa=pb=pc，则p在平面abc内的射影为δabc的心。
2）pa=pb=pc，∠bac=900，则p在平面abc的内的射影在。
3）pa、pb、pc两两垂直，p在δabc内的射影为心。
4）p到ab、bc、ac距离相等，则p在δabc内的射影为心。
5）∠pac=∠pac，则p在面abc内的射影在。
二、基本定理。
1> 线∥线。
2> 线∥面。
3> 面∥面。
4> 线⊥线。
5> 线⊥面。
三、空间向量。
1、共线向量。
1）对于空间任意两个向量。
2）a、b、c共线的充要条件是：，且。
若则c是。2、共面向面。
1）对于空间不共线向量。
2）p与不共线三点a、b、c共面充要条件是：，且。
若则p为。3、数量积。
4、投影。方向的投影为。
方向的射影为。
一）小题练习。
1、长方体abcd-a1b1c1d1中，∠dad1=450，∠cdc1=300，异面直线ad1与dc1所成角的大小是。
2、对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则直观图面积是原三角形面积的倍。
3、已知线段ab⊥平面α，，cd⊥bd，异面直线ab、cd所成角600，d与a在α的同侧，若ab=bc=cd=2，求ad
4、δabc中，ab=10，ac=6，bc=8，点p是δabc所在平面外一点，且p到δabc三边距离等于12，则p到面abc的距离为。
5、已知abcd为正方形，p是abcd所在平面外一点，p在平面abcd上的射影恰好是正方形的中心o，q是cd中点，求下列各项中的x、y值。
二）例题。例1，四面体a-bcd中，以下成立的有几个？
若ab=ac，bd=cd =>bc⊥ad
若ab=bd，ac=cd=>bc⊥ad
若ab⊥ac，bd⊥cd=>bc⊥ad
若ab⊥cd，ac⊥bd=>bc⊥ad
若d在ab上的射影为δabc的垂心=>b在acd上的射影必为。
acd垂心。
例2，如右图，等腰梯形abcd中，ab∥cd，ac⊥bd，ac∩bd=o，平面abcd外一点p满足po⊥平面abcd，又bo=2，，pb⊥pd。
1）求异面直线pd与bc所成角的余弦值；
2）求平面pab的法向量与平面cab的法向量所成角的大小；
3）设点m在棱pc上，且，问λ为何值时，pc⊥平面bmd？
例3，已知四棱锥s-abcd的底面边长为4的正方形，s在底面上的射影o落在正方形abcd内，且o到ab、ad的距离分别为。
1）求证：是定值；（2）已知p是sc的中点，且so=3，问在棱长a上是否存在一点q，使异面直线op与bq所成角900。
例4，δabc中，ac=13，ab=5，bc=12且pa=pb=pc=8，求p到面abc距离。
abc中，ab=5，bc=8，∠abc=1200，pa=pb=pc=12，求p到面abc距离。
abc中，ab=10，ac=6，bc=8，p是δabc所在平面外一点，且p到三边距离等于12，则p到面abc距离。
三）练习作业。
1．设a、b为两条直线，α、为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
a．若 b．若。
c．若 d．若。
2平面α∥平面β的一个充分条件是（ ）
a．存在一条直线a, a∥α,ab．存在一条直线a，
c．存在两条平行直线a、b，
d．存在两条异面直线a、b，
3．abcd为梯形，p在平面abcd外，ad⊥面pab，bc⊥面pac，底面abcd为梯形，ad=4，bc=8，ab=6，∠apd=∠cpb，满足上述条件的p的轨迹是（ ）
a．圆b．不完整的圆 c．抛物线d．抛物线的一部分。
4．底面是直角梯形的四棱锥p-abcd中，pa⊥底面abcd，bc∥ad，∠abc=900，pa=ab=bc=2，ad=1，则d到平面pbc的距离为。
5．方向上的射影为 。
6．直三棱柱abc-a1b1c1中，∠acb=900，∠bac=300，bc=1，，m是cc1中点。求证：ab1⊥a1m。
7．在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中，e、f分别是d1d、bd的中点，g在棱cd上，且h为c1g的中点。
1）求证：ef⊥b1c；（2）求ef与c1g所成的角的余弦值；（3）求fh的长。
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