27.（北京理16）
如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.
ⅰ)求证：平面。
（ⅱ）若求与所成角的余弦值；
（ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长。
证明：（ⅰ因为四边形abcd是菱形，所以ac⊥bd.
又因为pa⊥平面abcd.
所以pa⊥bd.
所以bd⊥平面pac.
ⅱ）设ac∩bd=o.
因为∠bad=60°，pa=pb=2,所以bo=1，ao=co=.
如图，以o为坐标原点，建立空间直角坐标系o—xyz，则。
p（0，—，2），a（0，—，0），b（1，0，0），c（0，，0）.
所以。设pb与ac所成角为，则。
ⅲ）由（ⅱ）知。
设p（0，－，t）（t>0），则。
设平面pbc的法向量，则。
所以。令则。
所以。同理，平面pdc的法向量。
因为平面pcb⊥平面pdc,所以=0，即。
解得。所以pa=
28.（福建理20）
如图，四棱锥p-abcd中，pa⊥底面abcd，四边形abcd中，ab⊥ad，ab+ad=4，cd=，．
i）求证：平面pab⊥平面pad；
ii）设ab=ap．
（i）若直线pb与平面pcd所成的角为，求线段ab的长；
ii）**段ad上是否存在一个点g，使得点g到点p，b，c，d的距离都相等？说明理。
由。本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分14分。
解法一：i）因为平面abcd，平面abcd，所以，又。
所以平面pad。
又平面pab，所以平面平面pad。
ii）以a为坐标原点，建立空间直角坐标系。
a—xyz（如图）
在平面abcd内，作ce//ab交ad于点e，则。
在中，de=，设ab=ap=t，则b（t，0，0），p（0，0，t）
由ab+ad=4，得ad=4-t，所以，i）设平面pcd的法向量为，由，，得。
取，得平面pcd的一个法向量，又，故由直线pb与平面pcd所成的角为，得。
解得（舍去，因为ad），所以。
ii）假设**段ad上存在一个点g，使得点g到点p，b，c，d的距离都相等，设g（0，m，0）（其中）
则，由得，（2）
由（1）、（2）消去t，化简得（3）
由于方程（3）没有实数根，所以**段ad上不存在一个点g，使得点g到点p，c，d的距离都相等。
从而，**段ad上不存在一个点g，使得点g到点p，b，c，d的距离都相等。
解法二：i）同解法一。
ii）（i）以a为坐标原点，建立空间直角坐标系a—xyz（如图）
在平面abcd内，作ce//ab交ad于e，则。
在平面abcd内，作ce//ab交ad于点e，则。
在中，de=，设ab=ap=t，则b（t，0，0），p（0，0，t）
由ab+ad=4，得ad=4-t，所以，设平面pcd的法向量为，由，，得。
取，得平面pcd的一个法向量，又，故由直线pb与平面pcd所成的角为，得。
解得（舍去，因为ad），所以。
ii）假设**段ad上存在一个点g，使得点g到点p，b，c，d的距离都相等，由gc=cd，得，从而，即。
设。在中，这与gb=gd矛盾。
所以**段ad上不存在一个点g，使得点g到点b，c，d的距离都相等，从而，**段ad上不存在一个点g，使得点g到点p，b，c，d的距离都相等。
29.（广东理18）
如图5．在椎体p-abcd中，abcd是边长为1的棱形，且∠dab=60，,pb=2,e,f分别是bc,pc的中点．
1） 证明：ad 平面def;
2） 求二面角p-ad-b的余弦值．
法一：（1）证明：取ad中点g，连接pg，bg，bd。
因pa=pd，有，在中，，有为。
等边三角形，因此，所以。
平面pbg又pb//ef，得，而de//gb得ad de，又，所以。
ad 平面def。
（2），为二面角p—ad—b的平面角，在。
在。法二：（1）取ad中点为g，因为。
又为等边三角形，因此，从而平面pbg。
延长bg到o且使得po ob，又平面pbg，po ad，所以po 平面abcd。
以o为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线ob，op分别为轴，z轴，平行于ad的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系。设。由于。
得。平面def。
取平面abd的法向量。
设平面pad的法向量。由。取。
30.（湖北理18）
如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合．
ⅰ）当=1时，求证：⊥；
ⅱ）设二面角的大小为，求的最小值．
本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分）
解法1：过e作于n，连结ef。
（i）如图1，连结nf、ac1，由直棱柱的性质知，底面abc侧面a1c。
又度面侧面a，c=ac，且底面abc，所以侧面a1c，nf为ef在侧面a1c内的射影，在中，=1，则由，得nf//ac1，又故。
由三垂线定理知。
ii）如图2，连结af，过n作于m，连结me。
由（i）知侧面a1c，根据三垂线定理得。
所以是二面角c—af—e的平面角，即，设。
在中，在。故。
又。故当时，达到最小值；
此时f与c1重合。
解法2：（i）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得。于是。则。
故。ii）设，平面aef的一个法向量为，则由（i）得f（0，4，）
于是由可得。
取。又由直三棱柱的性质可取侧面ac1的一个法向量为，于是由为锐角可得，所以，由，得，即。
故当，即点f与点c1重合时，取得最小值。
31.（湖南理19）
如图5，在圆锥中，已知=，⊙o的直径，是的中点，为的中点．
ⅰ）证明：平面平面；
ⅱ）求二面角的余弦值。
解法1：连结oc，因为。
又底面⊙o，ac底面⊙o，所以，因为od，po是平面pod内的两条相交直线，所以平面pod，而平面pac，所以平面pod平面pac。
ii）在平面pod中，过o作于h，由（i）知，平面。
所以平面pac，又面pac，所以。
在平面pao中，过o作于g，连接hg，则有平面ogh，从而，故为二面角b—pa—c的平面角。在。在。
在。在。
所以。故二面角b—pa—c的余弦值为。
解法2：（i）如图所示，以o为坐标原点，ob、oc、op所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则。
设是平面pod的一个法向量，则由，得。
所以。设是平面pac的一个法向量，则由，得。所以。得。
因为。所以从而平面平面pac。
ii）因为y轴平面pab，所以平面pab的一个法向量为。
由（i）知，平面pac的一个法向量为。
设向量的夹角为，则。
由图可知，二面角b—pa—c的平面角与相等，所以二面角b—pa—c的余弦值为。
32.（辽宁理18）
如图，四边形abcd为正方形，pd⊥平面abcd，pd∥qa，qa=ab=pd．
i）证明：平面pqc⊥平面dcq；
ii）求二面角q—bp—c的余弦值．
解：如图，以d为坐标原点，线段da的长为单位长，射线da为x轴的正半轴建立空间直角坐标系d—xyz.
（i）依题意有q（1，1，0），c（0，0，1），p（0，2，0）.则。所以。
即pq⊥dq，pq⊥dc.
故pq⊥平面dcq.
又pq平面pqc，所以平面pqc⊥平面dcq. …6分。
（ii）依题意有b（1，0，1），设是平面pbc的法向量，则。
因此可取。设m是平面pbq的法向量，则。
可取。故二面角q—bp—c的余弦值为 ……12分。
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