2011届高考数学专题：立体几何专题(教师版)
解答题。1.（2010上海文）20.（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2
小题满分7分。
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该。
最大值（结果精确到0.01平方米）;
2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出。
用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.
2.（2010陕西文）18.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥p—abcd中，底面abcd是矩形pa⊥平面abcd，ap=ab，bp=bc=2，e，f分别是pb,pc的中点。
(ⅰ)证明：ef∥平面pad；
(ⅱ)求三棱锥e—abc的体积v.
3.（2010安徽文）19.(本小题满分13分)
如图，在多面体abcdef中，四边形abcd是正方形，ab=2ef=2，ef∥ab,ef⊥fb,∠bfc=90°，bf=fc,h为bc的中点，ⅰ)求证：fh∥平面edb;
ⅱ）求证：ac⊥平面edb;
ⅲ）求四面体b—def的体积；
4.（2010四川理）（18）（本小题满分12分）
已知正方体abcd－a'b'c'd'的棱长为1，点m是棱aa'的中点，点o是对角线bd'的中点。
ⅰ）求证：om为异面直线aa'和bd'的公垂线；
ⅱ）求二面角m－bc'－b'的大小；
ⅲ）求三棱锥m－obc的体积。
5.（2010湖南文）18.（本小题满分12分）
如图所示，在长方体中，ab=ad=1，aa1=2，m是棱cc1的中点。
ⅰ）求异面直线a1m和c1d1所成的角的正切值；
ⅱ）证明：平面abm⊥平面a1b1m1
6.（2010浙江理）（20）（本题满分15分）如图， 在矩形中，点分别**段上，.沿直线将翻折成，使平面。
ⅰ）求二面角的余弦值；
ⅱ）点分别**段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。
7.（2010全国卷2）（19）如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．
ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；
ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．
8.（2010北京文）（17）（本小题共13分）
如图，正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直。
ef//ac，ab=,ce=ef=1
ⅰ）求证：af//平面bde；
ⅱ）求证：cf⊥平面bdf;
9.（2010天津文）（19）（本小题满分12分）
如图，在五面体abcdef中，四边形adef是正方形，fa⊥平面abcd，bc∥ad，cd=1，ad=，∠bad＝∠cda＝45°.
ⅰ）求异面直线ce与af所成角的余弦值；
ⅱ）证明cd⊥平面abf；
ⅲ）求二面角b-ef-a的正切值。
10.（2010天津理）（19）（本小题满分12分）
如图，在长方体中，、分别是棱，上的点，1） 求异面直线与所成角的余弦值；
2） 证明平面。
3） 求二面角的正弦值。
11.（2010广东理）18.（本小题满分14分）
如图5，是半径为a的半圆，ac为直径，点e为的中点，点b和点c为线段ad的三等分点．平面aec外一点f满足，fe=a
（1）证明：eb⊥fd；
2）已知点q,r分别为线段fe,fb上的点，使得，求平面与平面所成二面角的正弦值．
12.（2010全国卷1理）（19）（本小题满分12分）
如图，四棱锥s-abcd中，sd底面abcd，ab//dc，addc，ab=ad=1，dc=sd=2，e为棱sb上的一点，平面edc平面sbc .
ⅰ）证明：se=2eb；
ⅱ）求二面角a-de-c的大小 .
13.（2010湖北文）18.（本小题满分12分）
如图，在四面体aboc中，oc⊥oa。oc⊥ob，∠aob=120°，且oa=ob=oc=1
ⅰ）设p为ac的中点，q在ab上且ab=3aq，证明：pq⊥oa；
ⅱ）求二面角o-ac-b的平面角的余弦值。
14.（2010山东理）（19）（本小题满分12分）
如图，在五棱锥p—abcde中，pa⊥平面abcde，ab∥cd，ac∥ed，ae∥bc， abc=45°，ab=2，bc=2ae=4，三角形pab是等腰三角形．
ⅰ）求证：平面pcd⊥平面pac；
ⅱ）求直线pb与平面pcd所成角的大小；
ⅲ）求四棱锥p—acde的体积．
15.（2010湖北理数）18． (本小题满分12分)
如图， 在四面体aboc中， ,且。
ⅰ）设为为的中点， 证明： 在上存在一点，使，并计算的值；
ⅱ）求二面角的平面角的余弦值。
16.（2010安徽理数）18、（本小题满分12分）
如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，为的中点。
(ⅰ)求证：∥平面；
ⅱ)求证：平面；
ⅲ)求二面角的大小。
17.（2010辽宁文）（19）（本小题满分12分）
如图，棱柱的侧面是菱形，ⅰ）证明：平面平面；
ⅱ）设是上的点，且平面，求的值。
18.（2010辽宁理）（19）（本小题满分12分）
已知三棱锥p－abc中，pa⊥abc，ab⊥ac，pa=ac=ab，n为ab上一点，ab=4an,m,s分别为pb,bc的中点。
ⅰ）证明：cm⊥sn；
ⅱ）求sn与平面cmn所成角的大小。
19.（2010江西理）20. （本小题满分12分）
如图△bcd与△mcd都是边长为2的正三角形，平面mcd平面bcd，ab平面bcd，。
1） 求点a到平面mbc的距离；
2） 求平面acm与平面bcd所成二面角的正弦值。
20.（2010浙江文）（20）（本题满分14分）如图，在平行四边形abcd中，ab=2bc，∠abc=120°。e为线段ab的中点，将△ade沿直线de翻折成△a’de，使平面a’de⊥平面bcd，f为线段a’c的中点。
ⅰ）求证：bf∥平面a’de；
ⅱ）设m为线段de的中点，求直线fm与平面a’de所成角的余弦值。
21.（2010北京理）（16）（本小题共14分）
如图，正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直，ce⊥ac,ef∥ac,ab=，ce=ef=1.
ⅰ）求证：af∥平面bde；
ⅱ）求证：cf⊥平面bde；
ⅲ）求二面角a-be-d的大小。
22.（2010广东文）18.（本小题满分14分）
如图4，弧aec是半径为的半圆，ac为直径，点e为弧ac的中点，点b和点c为线段ad的三等分点，平面aec外一点f满足fc平面bed,fb=
1）证明：ebfd
2）求点b到平面fed的距离。
1）证明：点e为弧ac的中点。
23.（2010福建文）20． （本小题满分12分）
如图，在长方体abcd – a1b1c1d1中，e，h分别是棱a1b1,d1c1上的点（点e与b1不重合），且eh//a1d1。过eh的平面与棱bb1,cc1相交，交点分别为f，g。
（i）证明：ad//平面efgh；
（ii）设ab=2aa1=2a。在长方体abcd-a1b1c1d1内随机选取一点，记该点取自于几何体a1abfe – d1dcgh内的概率为p。当点e，f分别在棱a1b1, b1b上运动且满足ef=a时，求p的最小值。
24（2010江苏卷）16、（本小题满分14分）
如图，在四棱锥p-abcd中，pd⊥平面abcd，pd=dc=bc=1，ab=2，ab∥dc，∠bcd=900。
1)求证：pc⊥bc；
2)求点a到平面pbc的距离。
25．如下图，在正四棱柱中，，点分别为的中点，过点三点的平面交于点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值；
（3）设截面把该正四棱柱截成的两个几何体的。
体积分别为（），求的值．
26． 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点．
（1）求证：；（2）求与平面所成的角；（3）求截面的面积．
27．如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的大小；
（3）求二面角的大小．
28.（浙江宁第20题）已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
1）求异面直线与所成角的余弦值；
2）求二面角的正弦值；
3）求此几何体的体积的大小．
29.（福建省理科数学高考样卷）如图，在棱长为的正方体中，分别为和的中点．
1）求证：∥平面；
2）求异面直线与所成的角的余弦值；
3）在棱上是否存在一点，使得二面角。
的大小为？若存在，求出的。
长；若不存在，请说明理由．
30（广东省广州市调研测试）
在四棱锥中，平面，
为的中点，．
1）求四棱锥的体积；
2）若为的中点，求证平面；
3）求证∥平面．
31.(2010江苏泰州期末16)如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的。
中点．1）求证： /平面；
2）求证：；
3）求三棱锥的体积．
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