全国各地高考数学真题分章节分类汇编。
立体几何。一、选择题：
1（ 2024年高考全国卷i理科7）正方体abcd-中，b与平面ac所成角的余弦值为。
a b c d
d 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出d到平面ac的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现。
解析】因为bb1//dd1,所以b与平面ac所成角和dd1与平面ac所成角相等，设do⊥平面ac，由等体积法得，即。设dd1=a,则，.
所以，记dd1与平面ac所成角为，则，所以。
2（ 2024年高考全国卷i理科12）已知在半径为2的球面上有a、b、c、d四点，若ab=cd=2,则四面体abcd的体积的最大值为。
ab) (cd)
b【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力。
解析】过cd作平面pcd，使ab⊥平面pcd,交ab与p,设点p到cd的距离为，则有，当直径通过ab与cd的中点时， ,故。
3（2024年高考安徽卷理科8）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为。
a、280 b、292 c、360 d、372
c解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。.
方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键。又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度。把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。
4（2024年高考四川卷理科11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别。
与球面交于点m，n，那么m、n两点间的球面距离是。
ab）w_w_ 5* o*m
cd）解析：由已知，ab＝2r,bc＝r,故tan∠bac＝w_w_ 5* o*m
cos∠bac＝
连结om，则△oam为等腰三角形。
am＝2aocos∠bac＝，同理an＝，且mn∥cd w_w_ 5* o*m
而ac＝r,cd＝r
故mn：cd＝an:ac w_w_ 5* o*m
mn＝，连结om、on，有om＝on＝r
于是cos∠mon＝
所以m、n两点间的球面距离是w_w_ 5* o*m
答案：a5(2024年全国高考宁夏卷10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为。
a) (bc) (d)
答案】b 解析：如图，p为三棱柱底面中心，o为球心，易知。
所以球的半径满足：
故．6（2024年高考北京卷理科8）如图，正方体abcd-的棱长为2，动点e、f在棱上，动点p，q分别在棱ad，cd上，若ef=1， e=x，dq=y，dｐ＝ｚ大于零），则四面体peｆｑ的体积。
（ａ）与ｘ，ｙ都有关。
（ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关。
（ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关。
（ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关。
答案】d解析：这道题目延续了北京高考近年8，14，20的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以分析出，的面积永远不变，为面面积的，而当点变化时，它到面的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化。
7、(2024年高考全国2卷理数11）与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点。
a）有且只有1个b）有且只有2个。
c）有且只有3个d）有无数个。
8、(2024年高考重庆市理科10)到两互相垂直的异面的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是。
a） 直线 （b） 椭圆 （c） 抛物线 （d） 双曲线。
答案】d解析：排除法轨迹是轴对称图形，排除a、c，轨迹与已知直线不能有交点，排除b
9（2024年高考辽宁卷理科12）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是。
(a)（0,） b)（1,）
(cd) （0,）
答案】a二、填空题：
10、(2024年高考数学湖北卷理科13）圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm．
答案】4解析】设球半径为r，则由可得，解得r=4.
11、(2024年全国高考宁夏卷14）正视图为一个三角形的几何体可以是___写出三种）
解析】三棱锥、三棱柱、圆锥等．
12、（2024年高考江西卷理科16）如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，分别经过三条棱，，作一个截面平。
分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的。
大小关系为。
答案】13、（2024年高考浙江卷12）若某几何体的正视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是___cm3.
答案】144
14、（2024年高考辽宁卷理科15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为___
答案】15、（2024年高考上海市理科12）如图所示，在边长为4的正方形纸片abcd中，ac与bd相交于o,剪去，将剩余部分沿oc、od折叠，使oa、ob重合，则以a、（b）、c、d、o为顶点的四面体的体积为 。
答案】三、解答题：
16（2024年高考山东卷理科19）
如图，在五棱锥p—abcde中，pa⊥平面abcde，ab∥cd，ac∥ed，ae∥bc， abc=45°，ab=2，bc=2ae=4，三角形pab是等腰三角形．
ⅰ）求证：平面pcd⊥平面pac；
ⅱ）求直线pb与平面pcd所成角的大小；
ⅲ）求四棱锥p—acde的体积．
解析】（ⅰ证明：因为abc=45°，ab=2，bc=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，所以，即，又pa⊥平面abcde，所以pa⊥，又pa，所以，又ab∥cd，所以，又因为。
所以平面pcd⊥平面pac；
ⅱ）由（ⅰ）知平面pcd⊥平面pac，所以在平面pac内，过点a作于h，则。
又ab∥cd，ab平面内，所以ab平行于平面，所以点a到平面的距离等于点b到平面的距离，过点b作bo⊥平面于点o，则为所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直线pb与平面pcd所成角的大小为；
ⅲ）由（ⅰ）知，所以，又ac∥ed，所以四边形acde是直角梯形，又容易求得，ac=，所以四边形acde的面积为，所以。
四棱锥p—acde的体积为=。
命题意图】本题考查了空间几何体的的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的体积计算问题，考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力。
17、（2024年高考福建卷理科18）
如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且ab是圆o直径。
ⅰ）证明：平面平面；
ⅱ）设ab=，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为。
i）当点c在圆周上运动时，求的最大值；
ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值。
命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。
解析】（ⅰ因为平面abc，平面abc，所以，因为ab是圆o直径，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面。
ⅱ）（i）设圆柱的底面半径为，则ab=，故三棱柱的体积为，又因为，所以=，当且仅当时等号成立，从而，而圆柱的体积，故=当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是。
ii）由（i）可知，取最大值时，，于是以o为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），则c（r，0，0），b（0，r，0），（0，r，2r），因为平面，所以是平面的一个法向量，设平面的法向量，由，故，取得平面的一个法向量为，因为，所以。
18、(2024年高考数学湖北卷理科18）
如图， 在四面体aboc中，oc⊥oa, oc⊥ob,∠aob=120°，且oa=ob=oc=1.
ⅰ) 设p为ac的中点。证明：在ab上存在一点q,使pq⊥oa,并计算=的值；
ⅱ) 求二面角o-ac-b的平面角的余弦值。
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19、（2024年高考广东卷理科18）
如图，是半径为a的半圆，ac为直径，点e为的中点，点b和点c为线段ad的三等分点．平面aec外一点f满足，fe=a ．
图。（1）证明：eb⊥fd；
2）已知点q,r分别为线段fe,fb上的点，使得，求平面与平面所成二面角的正弦值．
解析】2）设平面与平面rqd的交线为。
由bq=fe,fr=fb知，.
而平面，∴平面，而平面平面=，.
由（1）知， 平面，∴平面，而平面，平面，是平面与平面所成二面角的平面角．
在中，．故平面与平面所成二面角的正弦值是．
20（ 2024年高考全国卷i理科19）
如图，四棱锥s-abcd中，sd底面abcd，ab//dc，addc，ab=ad=1，dc=sd=2，e为棱sb上的一点，平面edc平面sbc .
ⅰ）证明：se=2eb；
ⅱ）求二面角a-de-c的大小 .
命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。
解析】解法一：
(ⅰ)连接bd,取dc的中点g，连接bg,由此知即为直角三角形，故。
又，所以，.
作，ⅱ)由知。
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