完美破解立体几何证明题。
题型一空间中的平行问题。
例1 在如图所示多面体abcde中，ab⊥平面acd，de⊥平面acd，且ac＝ad＝cd＝de＝2，ab＝1.
1)请**段ce上找到点f的位置，使得恰有直线bf∥平面acd，并证明．
2)求多面体abcde的体积．
破题切入点 (1)可先猜后证，可以利用线面平行的判定定理进行证明．
2)找到合适的底面．
解如图，(1)由已知ab⊥平面acd，de⊥平面acd，所以ab∥ed，设f为线段ce的中点，h是线段cd的中点，连结fh，ah，则fh綊ed，所以fh綊ab，所以四边形abfh是平行四边形，所以bf∥ah，又因为bf平面acd，ah平面acd，所以bf∥平面acd.
2)取ad中点g，连结cg.
因为ab⊥平面acd，所以cg⊥ab，又cg⊥ad，ab∩ad＝a，所以cg⊥平面abed，即cg为四棱锥c－abed的高，求得cg＝，所以vc－abed＝××2×＝.
即多面体abcde的体积为。
题型二空间中的垂直问题。
例2 如图，三棱柱abc－a1b1c1的侧面aa1b1b为正方形，侧面bb1c1c为菱形，∠cbb1＝60°，ab⊥b1c.
1)求证：平面aa1b1b⊥平面bb1c1c.
2)若ab＝2，求三棱柱abc－a1b1c1的体积．
破题切入点 (1)考查面面垂直的判定定理．
2)注意利用棱柱体积和锥体体积公式间的关系．
1)证明由侧面aa1b1b为正方形，知ab⊥bb1.
又ab⊥b1c，bb1∩b1c＝b1，所以ab⊥平面bb1c1c，又ab平面aa1b1b，所以平面aa1b1b⊥平面bb1c1c.
2)解由题意，cb＝cb1，设o是bb1的中点，连结co，则co⊥bb1.
由(1)知，co⊥平面aa1b1b，且co＝bc＝ab＝.
连结ab1，则＝·co
ab2·co＝.
因为＝＝＝所以＝2.
故三棱柱abc－a1b1c1的体积为2.
题型三空间中的平行、垂直综合问题。
例3 在如图所示的几何体中，四边形abcd是正方形，ma⊥平面abcd，pd∥ma，e、g、f分别为mb、pb、pc的中点，且ad＝pd＝2ma.
1)求证：平面efg∥平面pma；
2)求证：平面efg⊥平面pdc；
3)求三棱锥p－mab与四棱锥p－abcd的体积之比．
破题切入点 (1)证明eg、fg都平行于平面pma.
2)证明gf⊥平面pdc.
3)设ma为1，从而其他边的长度都可表示，问题可求解．
1)证明 ∵e、g、f分别为mb、pb、pc的中点，eg∥pm，gf∥bc.
又∵四边形abcd是正方形，∴bc∥ad，∴gf∥ad.
eg平面pma，gf平面pma，pm平面pma，ad平面pma，eg∥平面pma，gf∥平面pma.
又∵eg平面efg，gf平面efg，eg∩gf＝g，平面efg∥平面pma.
2)证明由已知ma⊥平面abcd，pd∥ma，pd⊥平面abcd.
又bc平面abcd，∴pd⊥bc.
四边形abcd为正方形，∴bc⊥dc.
又pd∩dc＝d，∴bc⊥平面pdc.
由(1)知gf∥bc，∴gf⊥平面pdc.
又gf平面efg，∴平面efg⊥平面pdc.
3)解 ∵pd⊥平面abcd，四边形abcd为正方形，不妨设ma＝1，则pd＝ad＝2.
da⊥平面mab，且pd∥ma，da即为点p到平面mab的距离，vp－mab∶vp－abcd
(s△mab·da)∶(s正方形abcd·pd)
s△mab∶s正方形abcd＝∶(2×2)＝1∶4.
即三棱锥p－mab与四棱锥p－abcd的体积之比为1∶4.
总结提高 1.证明平行关系的方法：
1)证明线线平行的常用方法：
利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；
利用平行四边形进行转换；
利用三角形中位线定理证明；
利用线面平行、面面平行的性质定理证明．
2)证明线面平行的常用方法：
利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行；
利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行．
3)证明面面平行的方法：
证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．
2．证明空间中垂直关系的方法：
1)证明线线垂直的常用方法。
利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；
利用勾股定理逆定理；
利用线面垂直的性质，即要证明线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可．
2)证明线面垂直的常用方法。
利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；
利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直；
利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等．
3)证明面面垂直的方法。
证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决．
过关检测。1．若平面α∥平面β，直线aα，点b∈β，则在β内过点b的所有直线中与a平行的直线的条数为___
答案一条。解析由直线a与b确定的平面与β有唯一交线．故存在唯一与a平行的直线．
2．在正方体abcd—a1b1c1d1中，e是棱ab上的动点，则直线a1d与直线c1e所成的角为___
答案 90°
解析在正方体中，显然有a1d⊥ab，a1d⊥ad1，所以a1d⊥平面ad1c1b，又c1e平面ad1c1b，故a1d⊥c1e.
3．已知α、β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；存在一个平面存在两条平行直线a、b，aα，bβ，a∥β，b∥α；存在两条异面直线a、b，aα，bβ，a∥β，b∥α，可以推出α∥β的是___
答案 ①④解析对于②，平面α与β还可以相交；
对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β所以②③是错误的，易知①④正确．
4．已知α，β是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：①a∥γ，bβ；②a∥γ，b∥β；b∥β，aγ.如果命题“α∩a，bγ，且___那么a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是___
答案 ①或③
解析由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件①或③.
5.如图所示，直线pa垂直于⊙o所在的平面，△abc内接于⊙o，且ab为⊙o的直径，点m为线段pb的中点．现有结论：①bc⊥pc；②om∥平面apc；③点b到平面pac的距离等于线段bc的长．其中正确的是___
答案 ①②解析对于①，∵pa⊥平面abc，∴pa⊥bc.
ab为⊙o的直径，∵pa∩ac＝a，bc⊥ac，∴bc⊥平面pac，又pc平面pac，∴bc⊥pc；
对于②，∵点m为线段pb的中点，om∥pa，∵pa平面pac，∴om∥平面pac；
对于③，由①知bc⊥平面pac，线段bc的长即是点b到平面pac的距离，故①②③都正确．
6．设α和β为两个不重合的平面，给出下列四个命题：
若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．
其中为真命题的是写出所有真命题的序号)
答案 ①②解析
由①知α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，故①为真命题；由线面平行的判定定理知，②为真命题；对于③，如图，α∩l，aα，a⊥l，但不一定有α⊥β故③为假命题；对于④，直线l与平面α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，故④为假命题．
综上所述，真命题的序号为①②.
7.如图，在空间四边形abcd中，m∈ab，n∈ad，若＝，则直线mn与平面bdc的位置关系是___
答案平行。解析在平面abd中，＝，mn∥bd.
又mn平面bcd，bd平面bcd，mn∥平面bcd.
8．底面直径和母线长相等的圆柱称为等边圆柱．已知一等边圆柱的底面半径为2，则其体积为___
答案 16π
解析由题意，圆柱的高为4，则v＝π·22·4＝16π.
9.如图，已知六棱锥p－abcdef的底面是正六边形，pa⊥平面abc，pa＝2ab，则下列结论中：①pb⊥ae；②平面abc⊥平面pbc；③直线bc∥平面pae；④∠pda＝45°.
其中正确的有___把所有正确的序号都填上)．
答案 ①④解析由pa⊥平面abc，ae平面abc，得pa⊥ae，又由正六边形的性质得ae⊥ab，pa∩ab＝a，得ae⊥平面pab，又pb平面pab，∴ae⊥pb，①正确；
平面pad⊥平面abc，平面abc⊥平面pbc不成立，②错；
由正六边形的性质得bc∥ad，又ad平面pad，bc平面pad，∴bc∥平面pad，直线bc∥平面pae也不成立，③错；
在rt△pad中，pa＝ad＝2ab，∴∠pda＝45°，④正确．
10．给出命题：
在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；
设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；
已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，“α是“m⊥β”的充要条件；
在三棱锥s－abc中，sa⊥bc，sb⊥ac，则s在平面abc内的射影是△abc的垂心；
a，b是两条异面直线，p为空间一点，过p总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行．
其中，正确的命题是只填序号)
答案 ②④解析 ①错误，垂直于同一个平面的两个平面也可能相交；
错误，“α是“m⊥β”的必要不充分条件；
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