专题五立体几何》第1讲空间几何体与三视图。
一、知识网络。
二、【考向分析】
1.以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适中；
2．以熟悉的几何体为背景，考查多面体或旋转体的侧面积、表面积和体积计算，间接考查空间位置关系的判断及转化思想等，常以三视图形式给出几何体，辅以考查识图、用图能力及空间想象能力，难度中等．
3．几何体的三视图与表(侧)面积、体积计算结合。
三、【典例分析】
例1】(文)(2015·浙江理，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )
a．8 cm3 b．12 cm3
c. cm3 d. cm3
思路点拨】考查多面体的体积；解答本题先由三视图确定。
组合体的形状，再按体积公式计算．
解：由题意得，该几何体为一正方体与正四棱锥的组合，∴体积v＝23＋×22×2＝(cm3)，故选c.
跟踪训练】2015·新课标ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体。
积的比值为( )
a. b. c. d.
解：由三视图得，在正方体abcd－a1b1c1d1中，截去四面体a－a1b1d1，如图所示，设正方体棱长为a，则va－a1b1d1＝×a3＝a3，故剩余。
几何体体积为a3－a3＝a3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比。
值为，故选d
例2】(2015·新课标ⅰ理，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球。
半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图。
所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(
a．1 b．2 c．4 d．8
思路点拨】考查简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的侧面积公式．本题观察视图的关键是圆柱截割后余下部分的形状，先看俯视图，再看正视图确定其摆放状态及形状．
解： 由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为。
4πr2＋πr×2r＋πr2＋2r×2r＝5πr2＋4r2＝16＋20π，解得r＝2，故选b.
四、【易错防范】
三视图识读不准致误。
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
a．112 b．80 c．72 d．64
易错分析】本题易错之处是由正、侧视图误以为几何体上部为三棱锥或整个几何体为四棱锥．由俯视图知，棱锥顶点在底面射影为正方体底面一条棱的中点，故棱锥有一个侧面与底面垂直，它应该为四棱锥，而非三棱锥．
解：由三视图知，该几何体为组合体，下部是棱长为4的正方体，上部为四棱锥，四棱锥的底面与正方体底面重合，顶点在底面射。
影为正方体棱的中点，其直观图如图，故该几何体的体积。
v＝4×4×4＋×4×4×3＝80，故选b.
警示】识读三视图时，一要按正投影原理找到各点的射影；二要弄清观察者相对于几何体的位置与三视图的关系；三要熟记常见几何体的三视图．
第2讲点、直线、平面之间的位置关系。
一、【知识网络】
二、【考向分析】
1.以客观题形式考查有关线面平行、垂直等位置关系的命题真假判断或充要条件判断等．
2．以几何体的直观图、三视图为载体，考查考生识图、用图能力和对空间线面位置关系的掌握情况．
3．以多面体或旋转体为载体(棱锥、棱柱为主)命制空间线面平行、垂直各种位置关系的证明题或探索性问题，以大题形式呈现。
三、【典例分析】
例1 (文)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的( )
a．充分而不必要条件 b．必要而不充分条件 c．充分必要条件 d．既不充分也不必要条件。
思路点拨】
考查空间直线和平面、直线和直线的位置关系．解答本题应注意线面位置关系的所有可能情形及线线、线面平行与垂直的判定、性质定理．
解： 若l⊥m，因为m垂直于平面α，则l∥α或lα；若l∥α，又m垂直于平面α，则l⊥m，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件，故选b.
跟踪训练】设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα.则“m∥β”是“α∥的( )
a．充分而不必要条件 b．必要而不充分条件 c．充分必要条件 d．既不充分也不必要条件。
思路点拨】
考查空间直线与平面的位置关系；充要条件．解答本题应注意线面、面面平行的判定、性质定理及其位置关系的所有可能情形．
解： 因为α，β是两个不同的平面，m是直线且mα.若“m∥β”则平面α、β可能相交也可能平行，不能推出α∥β反过来若α∥βmα，则有m∥β，则“m∥β”是“α∥的必要而不充分条件．
例2 (文)(2015·广东文，18)如图，三角形pdc所在的平面与长方形abcd所在的平面垂直，pd＝pc＝4，ab＝6，bc＝3.
1)证明：bc∥平面pda；(2)证明：bc⊥pd；
3)求点c到平面pda的距离。
思路点拨】考查：1.线面平行；2.线线垂直；3.点到平面的距离及转化化归思想．推理论证能力和运算求解能力．
第(1)问在平面pad内找一条直线与bc平行可由长方形获证；第(2)问欲证bc⊥pd，可先证bc⊥平面pcd，这可由面面垂直的性质定理获证；第(3)问由几何体形状的特殊性，用等体积法求．
解： (1)因为四边形abcd是长方形，所以bc∥ad，因为bc平面pda，ad平面pda，所以bc∥平面pda.
2)因为四边形abcd是长方形，所以bc⊥cd，因为平面pdc⊥平面abcd，平面pdc∩平面abcd＝cd，bc平面abcd，所以bc⊥平面pdc，因为pd平面pdc，所以bc⊥pd.
3)取cd的中点e，连接ae和pe，因为pd＝pc，所以pe⊥cd，在rt△ped中，pe＝＝＝因为平面pdc⊥平面abcd，平面pdc∩平面abcd＝cd，pe平面pdc，所以pe⊥平面abcd，由(2)知：bc⊥平面pdc，由(1)知：bc∥ad，所以ad⊥平面pdc，因为pd平面pdc，所以ad⊥pd，设点c到平面pda的距离为h，因为v三棱锥c－pda＝v三棱锥p－acd，所以s△pda·h＝s△acd·pe，即h＝＝＝所以点c到平面pda的距离是。
跟踪训练】1、如图，四棱锥p－abcd中，ap⊥平面pcd，ad∥bc，ab＝bc＝ad，e、f分别为线段ad、pc的中点．
2)求证：ap∥平面bef；(2)求证：be⊥平面pac.
思路点拨】 考查线面平行与垂直的判定与性质定理和推理论证能力．
1)问根据线面平行的判定定理在平面bef内找直线与ap平行，充分利用中点的条件．
2)证be⊥ac，be⊥ap即可．
解：(1)证明：如图所示，连接ac交be于点o，连接of.
e为ad中点，bc＝ad，ad∥bc，∴四边形abce为平行四边形．
o为ac的中点，又f为pc中点，∴of∥ap.又of平面bef，ap平面bef，∴ap∥平面bef.
2)由(1)知四边形abce为平行四边形．
又∵ab＝bc，∴四边形abce为菱形．∴be⊥ac.
由题意知bcad，∴bced，∴四边形bcde为平行四边形，∴be∥cd.
又∵ap⊥平面pcd，∴ap⊥cd.∴ap⊥be. 又∵ap∩ac＝a，∴be⊥平面pac.
(2015·重庆文，20)如图，三棱锥p－abc中，平面pac⊥平面abc，∠abc＝，点d，e**段ac上，且ad＝de＝ec＝2，pd＝pc＝4，点f**段ab上，且ef∥bc.
1)证明：ab⊥平面pfe；
2)若四棱锥p－dfbc的体积为7，求线段bc的长．
思路点拨】
考查：1. 空间线面垂直关系；2.锥体的体积；
3.推理论证能力和空间想象能力、方程思想和运算求解能力．
解答本题(1)利用线面垂直的判定定理进行证明；
2)利用体积公式建立关于bc的方程求解．
解： (1)如图．由de＝ec，pd＝pc知，e为等腰△pdc中dc边的中点，故pe⊥ac，又平面pac⊥平面abc，平面pac∩平面abc＝ac，pe平面pac，pe⊥ac，所以pe⊥平面abc，从而pe⊥ab.
因∠abc＝，ef∥bc.故ab⊥ef，从而ab与平面pef内两条相交直线pe，ef都垂直，所以ab⊥平面pfe.
2)设bc＝x，则在rt△abc中，ab＝＝.从而s△abc＝ab×bc＝x.
由ef∥bc，知＝＝，得△afe∽△abc，故＝2＝，即s△afe＝s△abc.
由ad＝ae，s△afd＝s△afe＝·s△abc＝s△abc＝x，从而四边形dfbc的面积为s四边形dfbc＝s△abc－s△adf＝x－x＝x.
由(1)知，pe⊥平面abc，所以pe为四棱锥p－dfbc的高．
在rt△pec中，pe＝＝＝2，体积vp－dfbc＝·s四边形dfbc·pe＝·x·2＝7，故得x4－36x2＋243＝0，解得x2＝9或x2＝27，由于x>0，可得x＝3或x＝3.所以bc＝3或bc＝3.
专题五强化训练。
一、选择题。
1．(2015·东北三校二模)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是( )
a．若l⊥m，mα，则l⊥α b．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
c．若l∥α，mα，则l∥m d．若l∥α，m∥α，则l∥m
[解析] 当l、m是平面α内的两条互相垂直的直线时，满足a的条件，故a错误；对于c，过l作平面与平面α相交于直线l1，则l∥l1，在α内作直线m与l1相交，满足c的条件，但l与m不平行，故c错误；对于d，设平面α∥β在β内取两条相交的直线l、m，满足d的条件，故d错误；对于b，由线面垂直的性质定理知b正确．
2．已知α、β是三个不同的平面，命题“α∥且α⊥γ是真命题，如果把α、β中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( )
a．0个 b．1个 c．2个 d．3个。
答案] c解析] 若α、β换成直线a、b，则命题化为“a∥b，且a⊥γb⊥γ”此命题为真命题；若α、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥β，且a⊥bb⊥β”此命题为假命题；若β、γ换为直线a、b，则命题化为“a∥α，且b⊥αa⊥b”，此命题为真命题，故选c.
专题五立体几何
08.3.14 一 考纲精析。1.空间几何体。能画出简单空间图形 棱柱 棱锥 圆柱 圆锥 球等的简易组合 的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型。了解球 棱柱 棱锥 台的表面积和体积的计算公式 不要求记忆公式 会求直棱柱 正棱锥 正棱台 圆柱 圆锥 圆台和球的表面积和体积。2.点 直线 平面之间...
专题五立体几何
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专题五立体几何
考前必记的数学概念 公式。在下面7个小题中，有2个表述不正确，请在题后用 或 判定，并改正过来 1.正棱台的侧面积公式s侧 c c h 其中c c分别为上 下底面周长，h 为斜高 中，当c 0时，表示正棱锥的侧面积公式 当c c时，表示直棱柱的侧面积公式 2.锥体的体积v锥 sh s为底面积，h是锥...