专题五立体几何

发布 2022-10-11 08:55:28 阅读 1614

专题五立体几何》第1讲空间几何体与三视图。

一、知识网络。

二、【考向分析】

1.以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断,及文字语言、图形语言、符号语言的转换,难度适中;

2.以熟悉的几何体为背景,考查多面体或旋转体的侧面积、表面积和体积计算,间接考查空间位置关系的判断及转化思想等,常以三视图形式给出几何体,辅以考查识图、用图能力及空间想象能力,难度中等.

3.几何体的三视图与表(侧)面积、体积计算结合。

三、【典例分析】

例1】(文)(2015·浙江理,2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是( )

a.8 cm3 b.12 cm3

c. cm3 d. cm3

思路点拨】考查多面体的体积;解答本题先由三视图确定。

组合体的形状,再按体积公式计算.

解:由题意得,该几何体为一正方体与正四棱锥的组合,∴体积v=23+×22×2=(cm3),故选c.

跟踪训练】2015·新课标ⅱ,6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体。

积的比值为( )

a. b. c. d.

解:由三视图得,在正方体abcd-a1b1c1d1中,截去四面体a-a1b1d1,如图所示,设正方体棱长为a,则va-a1b1d1=×a3=a3,故剩余。

几何体体积为a3-a3=a3,所以截去部分体积与剩余部分体积的比。

值为,故选d

例2】(2015·新课标ⅰ理,11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球。

半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图。

所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=(

a.1 b.2 c.4 d.8

思路点拨】考查简单几何体的三视图;球的表面积公式;圆柱的侧面积公式.本题观察视图的关键是圆柱截割后余下部分的形状,先看俯视图,再看正视图确定其摆放状态及形状.

解: 由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为。

4πr2+πr×2r+πr2+2r×2r=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2,故选b.

四、【易错防范】

三视图识读不准致误。

一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )

a.112 b.80 c.72 d.64

易错分析】本题易错之处是由正、侧视图误以为几何体上部为三棱锥或整个几何体为四棱锥.由俯视图知,棱锥顶点在底面射影为正方体底面一条棱的中点,故棱锥有一个侧面与底面垂直,它应该为四棱锥,而非三棱锥.

解:由三视图知,该几何体为组合体,下部是棱长为4的正方体,上部为四棱锥,四棱锥的底面与正方体底面重合,顶点在底面射。

影为正方体棱的中点,其直观图如图,故该几何体的体积。

v=4×4×4+×4×4×3=80,故选b.

警示】识读三视图时,一要按正投影原理找到各点的射影;二要弄清观察者相对于几何体的位置与三视图的关系;三要熟记常见几何体的三视图.

第2讲点、直线、平面之间的位置关系。

一、【知识网络】

二、【考向分析】

1.以客观题形式考查有关线面平行、垂直等位置关系的命题真假判断或充要条件判断等.

2.以几何体的直观图、三视图为载体,考查考生识图、用图能力和对空间线面位置关系的掌握情况.

3.以多面体或旋转体为载体(棱锥、棱柱为主)命制空间线面平行、垂直各种位置关系的证明题或探索性问题,以大题形式呈现。

三、【典例分析】

例1 (文)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的( )

a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件 c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件。

思路点拨】

考查空间直线和平面、直线和直线的位置关系.解答本题应注意线面位置关系的所有可能情形及线线、线面平行与垂直的判定、性质定理.

解: 若l⊥m,因为m垂直于平面α,则l∥α或lα;若l∥α,又m垂直于平面α,则l⊥m,所以“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件,故选b.

跟踪训练】设α,β是两个不同的平面,m是直线且mα.则“m∥β”是“α∥的( )

a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件 c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件。

思路点拨】

考查空间直线与平面的位置关系;充要条件.解答本题应注意线面、面面平行的判定、性质定理及其位置关系的所有可能情形.

解: 因为α,β是两个不同的平面,m是直线且mα.若“m∥β”则平面α、β可能相交也可能平行,不能推出α∥β反过来若α∥βmα,则有m∥β,则“m∥β”是“α∥的必要而不充分条件.

例2 (文)(2015·广东文,18)如图,三角形pdc所在的平面与长方形abcd所在的平面垂直,pd=pc=4,ab=6,bc=3.

1)证明:bc∥平面pda;(2)证明:bc⊥pd;

3)求点c到平面pda的距离。

思路点拨】考查:1.线面平行;2.线线垂直;3.点到平面的距离及转化化归思想.推理论证能力和运算求解能力.

第(1)问在平面pad内找一条直线与bc平行可由长方形获证;第(2)问欲证bc⊥pd,可先证bc⊥平面pcd,这可由面面垂直的性质定理获证;第(3)问由几何体形状的特殊性,用等体积法求.

解: (1)因为四边形abcd是长方形,所以bc∥ad,因为bc平面pda,ad平面pda,所以bc∥平面pda.

2)因为四边形abcd是长方形,所以bc⊥cd,因为平面pdc⊥平面abcd,平面pdc∩平面abcd=cd,bc平面abcd,所以bc⊥平面pdc,因为pd平面pdc,所以bc⊥pd.

3)取cd的中点e,连接ae和pe,因为pd=pc,所以pe⊥cd,在rt△ped中,pe===因为平面pdc⊥平面abcd,平面pdc∩平面abcd=cd,pe平面pdc,所以pe⊥平面abcd,由(2)知:bc⊥平面pdc,由(1)知:bc∥ad,所以ad⊥平面pdc,因为pd平面pdc,所以ad⊥pd,设点c到平面pda的距离为h,因为v三棱锥c-pda=v三棱锥p-acd,所以s△pda·h=s△acd·pe,即h===所以点c到平面pda的距离是。

跟踪训练】1、如图,四棱锥p-abcd中,ap⊥平面pcd,ad∥bc,ab=bc=ad,e、f分别为线段ad、pc的中点.

2)求证:ap∥平面bef;(2)求证:be⊥平面pac.

思路点拨】 考查线面平行与垂直的判定与性质定理和推理论证能力.

1)问根据线面平行的判定定理在平面bef内找直线与ap平行,充分利用中点的条件.

2)证be⊥ac,be⊥ap即可.

解:(1)证明:如图所示,连接ac交be于点o,连接of.

e为ad中点,bc=ad,ad∥bc,∴四边形abce为平行四边形.

o为ac的中点,又f为pc中点,∴of∥ap.又of平面bef,ap平面bef,∴ap∥平面bef.

2)由(1)知四边形abce为平行四边形.

又∵ab=bc,∴四边形abce为菱形.∴be⊥ac.

由题意知bcad,∴bced,∴四边形bcde为平行四边形,∴be∥cd.

又∵ap⊥平面pcd,∴ap⊥cd.∴ap⊥be. 又∵ap∩ac=a,∴be⊥平面pac.

(2015·重庆文,20)如图,三棱锥p-abc中,平面pac⊥平面abc,∠abc=,点d,e**段ac上,且ad=de=ec=2,pd=pc=4,点f**段ab上,且ef∥bc.

1)证明:ab⊥平面pfe;

2)若四棱锥p-dfbc的体积为7,求线段bc的长.

思路点拨】

考查:1. 空间线面垂直关系;2.锥体的体积;

3.推理论证能力和空间想象能力、方程思想和运算求解能力.

解答本题(1)利用线面垂直的判定定理进行证明;

2)利用体积公式建立关于bc的方程求解.

解: (1)如图.由de=ec,pd=pc知,e为等腰△pdc中dc边的中点,故pe⊥ac,又平面pac⊥平面abc,平面pac∩平面abc=ac,pe平面pac,pe⊥ac,所以pe⊥平面abc,从而pe⊥ab.

因∠abc=,ef∥bc.故ab⊥ef,从而ab与平面pef内两条相交直线pe,ef都垂直,所以ab⊥平面pfe.

2)设bc=x,则在rt△abc中,ab==.从而s△abc=ab×bc=x.

由ef∥bc,知==,得△afe∽△abc,故=2=,即s△afe=s△abc.

由ad=ae,s△afd=s△afe=·s△abc=s△abc=x,从而四边形dfbc的面积为s四边形dfbc=s△abc-s△adf=x-x=x.

由(1)知,pe⊥平面abc,所以pe为四棱锥p-dfbc的高.

在rt△pec中,pe===2,体积vp-dfbc=·s四边形dfbc·pe=·x·2=7,故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x>0,可得x=3或x=3.所以bc=3或bc=3.

专题五强化训练。

一、选择题。

1.(2015·东北三校二模)设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列说法正确的是( )

a.若l⊥m,mα,则l⊥α b.若l⊥α,l∥m,则m⊥α

c.若l∥α,mα,则l∥m d.若l∥α,m∥α,则l∥m

[解析] 当l、m是平面α内的两条互相垂直的直线时,满足a的条件,故a错误;对于c,过l作平面与平面α相交于直线l1,则l∥l1,在α内作直线m与l1相交,满足c的条件,但l与m不平行,故c错误;对于d,设平面α∥β在β内取两条相交的直线l、m,满足d的条件,故d错误;对于b,由线面垂直的性质定理知b正确.

2.已知α、β是三个不同的平面,命题“α∥且α⊥γ是真命题,如果把α、β中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有( )

a.0个 b.1个 c.2个 d.3个。

答案] c解析] 若α、β换成直线a、b,则命题化为“a∥b,且a⊥γb⊥γ”此命题为真命题;若α、γ换为直线a、b,则命题化为“a∥β,且a⊥bb⊥β”此命题为假命题;若β、γ换为直线a、b,则命题化为“a∥α,且b⊥αa⊥b”,此命题为真命题,故选c.

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