高考第二大题（18题）考法---立体几何。
一道做的不彻底的数学题也可能断送你的前程！
1.（2013新课标ⅰ理）
如图，三棱柱abc-a1b1c1中，ca=cb，ab=a a1，∠ba a1=60°.
ⅰ）证明ab⊥a1c;
ⅱ）若平面abc⊥平面aa1b1b，ab=cb=2，求直线a1c 与平面bb1c1c所成角的正弦值。
解析】（ⅰ取ab中点e，连结ce，ab=， 是正三角形，⊥ab， ∵ca=cb， ∴ce⊥ab， ∵e，∴ab⊥面，
ab6分。ⅱ）由（ⅰ）知ec⊥ab，⊥ab，又∵面abc⊥面，面abc∩面=ab，∴ec⊥面，∴ec⊥，ea，ec，两两相互垂直，以e为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，有题设知a(1,0,0), 0, ,0),c(0,0,),b(－1,0,0),则=（1,0，）,1,0,),09分。
设=是平面的法向量，则，即，可取=（，1，-1），=直线a1c 与平面bb1c1c所成角的正弦值为12分。
2.（2013新课标ⅱ理）
18）如图，直棱柱abc-a1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点，aa1 = ac = cb = ab.
ⅰ）证明：bc1 //平面a1cd
ⅱ）求二面角d-a1c-e的正弦值。
解】（ⅰ设ac1 ∩ a1c = f
bc1 //df，df平面a1cd，bc1平面a1cd
bc1 //平面a1cd.
ⅱ）解法一：由aa1 = ac = cb = ab aa1∶bd = ad∶be
rt△a1ad∽rt△bde ∠a1da = bed ∠a1da +∠bde = 90o ed⊥a1d
cd⊥平面abb1a1 cd⊥de
ed⊥平面a1cd
作dg⊥a1c交a1c于g, 则eg⊥a1c，所以∠dge为所求二面角的平面角。
cd⊥平面abb1a1 cd⊥a1d a1cdg = cda1d
设aa1 = 2a a1c = 2a，cd = a，a1d = a，dg = a，de = a eg = a
sin∠dge =
ⅱ）解法二：由ac = cb = ab ac2 + cb2 = ab2 ac⊥bc，建立如图所示的坐标系，设aa1 = 2，则。
(2, 0, 2)， 1, 1, 0)， 0, 2, 1)，设m = x1, y1, z1)是平面a1dc的法向量，则
可取m = 1, 1, 1)
同理设n = x2, y2, z2)是平面a1ec的法向量，则
可取n = 2, 1, -2)，cos< m, n> =sin< m, n> =
3.（2012新课标理）
如图，直三棱柱中，，是棱的中点，。
ⅰ）证明：
ⅱ）求二面角的大小。
省略。4.（2011新课标理）
如图，四棱锥p-abcd中，底面abcd为平行四。
边形，∠dab=60°,ab=2ad,pd⊥底面abcd.
ⅰ)证明：pa⊥bd；
ⅱ)若pd=ad，求二面角a-pb-c的余弦值。
解析1：（ⅰ因为， 由余弦定理得
从而bd2+ad2= ab2，故bd ad;又pd底面abcd，可得bd pd
所以bd平面pad. 故 pabd
ⅱ）如图，以d为坐标原点，ad的长为单位长，射线da为轴的正半轴建立空间直角坐标系d-，则。
设平面pab的法向量为n=（x,y,z），则，即
因此可取n=
设平面pbc的法向量为m，则
可取m=（0，-1
故二面角a-pb-c的余弦值为
5.（2013辽宁理）
如图， ）求证：
1)证明：由ab是圆的直径，得ac⊥bc.
由pa⊥平面abc，bc平面abc，得pa⊥bc.
又pa∩ac＝a，pa平面pac，ac平面pac，所以bc⊥平面pac.
因为bc平面pbc.
所以平面pbc⊥平面pac.
2)解法一：过c作cm∥ap，则cm⊥平面abc.
如图，以点c为坐标原点，分别以直线cb，ca，cm为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
因为ab＝2，ac＝1，所以bc＝.
因为pa＝1，所以a(0,1,0)，b(，0,0)，p(0,1,1)．
故＝(，0,0)，＝0,1,1)．
设平面bcp的法向量为n1＝(x，y，z)，则。
所以。不妨令y＝1，则n1＝(0,1，－1)．
因为＝(0,0,1)，＝1,0)．
设平面abp的法向量为n2＝(x，y，z)，则所以。
不妨令x＝1，则n2＝(1，，0)，于是cos〈n1，n2〉＝.
所以由题意可知二面角cpba的余弦值为。
6.（2013山东理）
本小题满分12分)如图所示，在三棱锥p－abq中，pb⊥平面abq，ba＝bp＝bq，d，c，e，f分别是aq，bq，ap，bp的中点，aq＝2bd，pd与eq交于点g，pc与fq交于点h，连接gh.
1)求证：ab∥gh；
2)求二面角d－gh－e的余弦值．
1)证明：因为d，c，e，f分别是aq，bq，ap，bp的中点，所以ef∥ab，dc∥ab.所以ef∥dc.
又ef平面pcd，dc平面pcd，所以ef∥平面pcd.
又ef平面efq，平面efq∩平面pcd＝gh，所以ef∥gh.
又ef∥ab，所以ab∥gh.
2)：在△abq中，aq＝2bd，ad＝dq，所以∠abq＝90°.
又pb⊥平面abq，所以ba，bq，bp两两垂直．
以b为坐标原点，分别以ba，bq，bp所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设ba＝bq＝bp＝2，则e(1,0,1)，f(0,0,1)，q(0,2,0)，d(1,1,0)，c(0,1,0)，p(0,0,2)．
所以＝(－1,2，－1)，＝0,2，－1)，(1，－1,2)，＝0，－1,2)．
设平面efq的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，由m·＝0，m·＝0，得。
取y1＝1，得m＝(0,1,2)．
设平面pdc的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，由n·＝0，n·＝0，得。
取z2＝1，得n＝(0,2,1)．
所以cos〈m，n〉＝.
因为二面角d－gh－e为钝角，所以二面角d－gh－e的余弦值为。
7.（2013天津理）
如图， 四棱柱abcd－a1b1c1d1中， 侧棱a1a⊥底面abcd, ab//dc, ab⊥ad, ad = cd = 1, aa1 = ab = 2, e为棱aa1的中点。
ⅰ) 证明b1c1⊥ce;
ⅱ) 求二面角b1－ce－c1的正弦值。
解：1)证明：如图，以点a为原点建立空间直角坐标系，依题意得a(0,0,0)，b(0,0,2)，c(1,0,1)，b1(0,2,2)，c1(1,2,1)，e(0,1,0)．
易得＝(1,0，－1)，＝1,1，－1)，于是·＝0，所以b1c1⊥ce.
设平面b1ce的法向量n＝(x，y，z)，则即。
消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为n＝(－3，－2,1)．
由(1)，b1c1⊥ce，又cc1⊥b1c1，可得b1c1⊥平面cec1，故＝(1,0，－1)为平面cec1的一个法向量．
于是cos〈n ，〉从而sin〈n ，〉
所以二面角b1－ce－c1的正弦值为。
8.（2013湖南理）
如图5，在直棱柱。
）证明：；）求直线所成角的正弦值。
解：(1)如图，因为bb1⊥平面abcd，ac平面abcd，所以ac⊥bb1.
又ac⊥bd，所以ac⊥平面bb1d．
而b1d平面bb1d，所以ac⊥b1d．
即直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值为。
解：(1)易知，ab，ad，aa1两两垂直．如图，以a为坐标原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设ab＝t，则相关各点的坐标为：a(0,0,0)，b(t,0,0)，b1(t,0,3)，c(t,1,0)，c1(t,1,3)，d(0,3,0)，d1(0,3,3)．
从而＝(－t,3，－3)，＝t,1,0)，＝t,3,0)．
因为ac⊥bd，所以·＝－t2＋3＋0＝0.解得或(舍去)．
于是＝(，3，－3)，＝1,0)．
因为·＝－3＋3＋0＝0，所以⊥，即ac⊥b1d．
2)由(1)知，＝(0,3,3)，＝1,0)，＝0,1,0)．
设n＝(x，y，z)是平面acd1的一个法向量，则。
即。令x＝1，则n＝(1，，)
设直线b1c1与平面acd1所成角为θ，则。
sin θ＝cos〈n，〉|
即直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值为。
9.（2012辽宁理）
如图，直三棱柱，点m，n分别为和的中点。
(ⅰ)证明：∥平面；
(ⅱ)若二面角为直二面角，求的值。
答案及解析】
10.（2012山东理）
在如图所示的几何体中，四边形abcd是等腰梯形，ab∥cd，∠dab=60°，fc⊥平面abcd，ae⊥bd，cb=cd=cf。
ⅰ）求证：bd⊥平面aed；
ⅱ）求二面角f-bd-c的余弦值。
解析：（ⅰ在等腰梯形abcd中，ab∥cd，∠dab=60°，cb=cd,由余弦定理可知，即，在中，∠dab=60°，，则为直角三角形，且。又ae⊥bd，平面aed，平面aed，且，故bd⊥平面aed；
ⅱ）由（ⅰ）可知，设，则，建立如图所示的空间直角坐标系，，向量为平面的一个法向量。
设向量为平面的法向量，则，即，取，则，则为平面的一个法向量。
而二面角f-bd-c的平面角为锐角，则。
二面角f-bd-c的余弦值为。
立体几何》专题 理科
2007届高三理科数学第二轮复习资料。立体几何 专题。东莞中学杨永康老师提供。1 如图正方体中，e f分别为d1c1和b1c1的中点，p q分别为a1c1与ef ac与bd的交点，1 求证 d b f e四点共面 2 若a1c与面dbfe交于点r，求证 p q r三点共线。2 已知直线 异面，平面过...
专题4 立体几何 理科
专题四 立体几何。一 基础知识归类 1 三视图画法规则 高平齐 主视图与左视图的高要保持平齐。长对正 主视图与俯视图的长应对正。宽相等 俯视图与左视图的宽度应相等。2 空间几何体三视图 正视图 从前向后的正投影 侧视图 从左向右的正投影 俯视图 从上向下正投影 3 空间几何体的直观图 斜二测画法特点...
2019立体几何专题练习 理科
立体几何练习。1 如图5，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，d是cb延长线上一点，且。求二面角的大小。2 四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面 已知，证明 求直线与平面所成角的正弦值。3 右图是一个直三棱柱 以为底面 被一平面所截得到的几何体，截面为 已知，1 设点是的中点，证明 平面 2 求二面角的大...