2007届高三理科数学第二轮复习资料。
—《立体几何》专题。
东莞中学杨永康老师提供。
1．如图正方体中，e、f分别为d1c1和b1c1的中点，p、q分别为a1c1与ef、ac与bd的交点，1）求证：d、b、f、e四点共面；
2）若a1c与面dbfe交于点r，求证：p、q、r三点共线。
2．已知直线、异面，平面过且平行于，平面过且平行于，求证：∥．
3. 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得，其中，
,若如图所示建立空间直角坐标系．
求和点的坐标；
求异面直线与所成的角；
求点c到截面的距离．
4. 如图，三棱锥p—abc中， pc平面abc，pc=ac=2，ab=bc，d是pb上一点，且cd平面pab．
) 求证：ab平面pcb；
) 求异面直线ap与bc所成角的大小；
）求二面角c-pa-b的余弦值．
5. 如图，直二面角d—ab—e中，四边形abcd是边长为2的正方形，ae=eb，f为ce上的点，且bf⊥平面ace.
1)求证ae⊥平面bce；
2)求二面角b—ac—e的余弦值．
6. 已知正三棱柱的底面边长为2，点m在侧棱上。
ⅰ）若p为ac的中点，m为bb1的中点，求证bp//平面amc1；
ⅱ）若am与平面所成角为，试求bm的长。
7. 如图，在底面是矩形的四棱锥p—abcd中，pa⊥底面abcd，pa＝ab＝1，bc＝2．
1）求证：平面pdc⊥平面pad；
2）若e是pd的中点，求异面直线ae
与pc所成角的余弦值；
8. 已知：在正三棱柱abc—a1b1c1中，ab = a，aa1 = 2a . d是侧棱bb1的中点。求证：
ⅰ）求证：平面adc1⊥平面acc1a1；
ⅱ）求平面adc1与平面abc所成二面角的余弦值．
9. 已知直四棱柱的底面是菱形，且， 为。
棱的中点，为线段的中点．
（ⅰ）求证：直线平面；
（ⅱ）求证：直线平面；
（ⅲ）求平面与平面所成二面角的大小。
10. 棱长是1的正方体，p、q分别是棱ab、cc1上的内分点，满足。
1）求证：a1p⊥平面aqd；
2）求直线pq与平面aqd所成角的正弦值。
11. 如图，长方体abcd－a1b1c1d1中， e、f分别是线段b1d1、a1b上的点，且d1e=2eb1,bf=2fa1．
1）求证：ef∥ac1；
2）若ef是两异面直线b1d1、a1b的公垂线段，求证该长方体为正方体．
12. 如图，在正四棱柱abcd—a1b1c1d1中，aa1=ab，点e、m分别为a1b、c1c的中点，过点a1，b，m三点的平面a1bmn交c1d1于点n.
（ⅰ）求证：em∥平面a1b1c1d1；
（ⅱ）求二面角b—a1n—b1的正切值。
参***。1．（1）证明：因为e、f分别为d1c1和b1c1的中点，所以，又，所以四边形是平行四边形，故，所以e、f、d、b四点共面。
2），确定平面，又， 而，又，而面，，即p，q，r三点共线。
2．证明：过作平面，使。
又∵,,且∥
又、异面，∴与必相交，∴∥
3.解（1）
4.（i）证明：()pc平面abc，平面abc，pcab
cd平面pab，平面pab，cdab． 又，ab平面pcb．
ii）由() ab平面pcb，∵pc=ac=2，又∵ab=bc，可求得bc=．
以b为原点，如图建立坐标系．则。
0，0，0），c（，０0），p（，０2）．
．则+0+0=2．
异面直线ap与bc所成的角为．
）设平面pab的法向量为m= (x，y，z)．，则即解得
令= -1, 得 m= (0，-1)．
设平面pac的法向量为n=()则即。
解得令=1, 得 n= (1，1，0)．
二面角c-pa-b的余弦值为。
5. (1)证明平面ace.
二面角d—ab—e为直二面角，且，
平面abe.
ⅱ）以线段ab的中点为原点o，oe所在直线为x轴，ab所在直线为y轴，过o点平行于ad的直线为z轴，建立。
空间直角坐标系o—xyz，如图。
面bce，be面bce，
在的中点，设平面aec的一个法向量为，则解得。
令得是平面aec的一个法向量。
又平面bac的一个法向量为，
∴二面角b—ac—e的余弦值为
6.（ⅰ证明：连ac1、mc1，取ac1的中点g，连mg，则pg//bm且pg=bm=
故四边形pgmb为平行四边形，bp //mg，又，bp//平面amc1
ii）建立如图的空间直角坐标系。
设，则点m的坐标为，，
平面的一个法向量为．
由题意得，故。
7.解：以a为原点，ab所在直线为x轴，ad所在直线为y轴，ap所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则a(0，0，0)，b(1，0，0)，c(1，2，0)，d(0，2，0)，p(0，0，1)，e(0，1，)．
＝(－1，0，0)，＝0，2，0)，＝0，0，1)，(0，1，) 1，2，－1)，1)平面pdc⊥平面pad．
2)∵cos＝＝，所求角的余弦值为．
解（ⅰ）以a点为原点，aa1为z轴，ab为y轴，过a点与ab垂直的直线为x轴，如图建立空间直角坐标系。 则。
a（0，0，0） b（0，a，0）c（）
d（0，a，a）c1（）
取ac1的中点m，则m点坐标为（a， a，a）
0，a，a)
（0，a，0）
∴ac1⊥dm，ac⊥dm
dm⊥平面acc1a1
又dm平面adc1
平面adc1⊥平面acc1a1
ⅱ）设平面adc1的法向量=（x，y，z）
(x，y，z) =0 =（0，a，a）·（x，y，z）= 0
即 不妨取平面abc的法向量为=（0，0，2a）
平面abc的平面adc1的夹角为。
cos= =
9. 解：设acbd=o，因为m、o分别为c1a、ca的中点，所以，mo//c1c，又由直四棱柱知c1c⊥平面abcd，所以，mo⊥平面abcd.
在菱形abcd中，bd⊥ac，所以，ob、oc、om两两垂直。故可以o为原点，ob、
oc、om所在直线分别为轴、轴、轴，如图。
建立空间直角坐标系，若设|ob|=1，则b（1，0，0），b1（1，0，2），a（0，，0），c（0，，0），c1（0，，2）.
i）由f、m分别为b1b、c1a的中点可知：f（1，0，1），m（0，0，1），所以（1，0，0）=
又与不共线，所以，mf∥ob.
平面abcd，ob平面abcd，
平面abcd
ii）（1，0，0），而（1，0，0）为平面（即平面acc1a1）的法向量。
所以，平面mf⊥平面acc1a1.
iii）为平面abcd的法向量，设的一个法向量，则。
设平面afc1与平面abcd所成二面角的大小为，则
所以=30° .即平面afc1与平面abcd所成二面角的大小为30°
10. 解（1）以d为原点，da、dc、dd1所在直线分别。
为x、y、z轴建立空间直角坐标系0－xyz，则d（0，0，0），a（1，0，0）， b（1，1，0），a1（1，0，1），c1（0，1，1），p（1，），q（0，1，），
2）设pq与平面aqd所成角为θ，则直线pq与平面aqd所成角的正弦值是。
11. (1)如图，以d为原点，da、dc、dd1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系。设da=a, dc=b,dd1=c，则e(a, b, c),f(a , b, c),a(a,0,0),c1(0,b,c).
fe与ac1不共线，∴fe∥ac1.
2)∵d1(0,0,c),b1(a, b, c), a1(a, 0, c),b(a, b,0),∴
∵ef是两异面直线b1d1、a1b的公垂线段，∴ef⊥b1d1,ef⊥a1b.
∴－a2＋b2=0,b2－c2=0,∴a=b=c.
∴该长方体为正方体。
12. （建立如图所示空间直角坐标系，设ab=2a，aa1=a(a>0)，则。
a1（2a，0，a），b（2a, 2a , 0）, c（0，2a，0），c1（0，2a，a）
e为a1b的中点，m为cc1的中点 ∴e（2a , a ,）m（0，2a,）
em// a1b1c1d1
ⅱ）设平面a1bm的法向量为=（x, y , z ），又=（0，2a , a ） 由，得。
而平面a1b1c1d1的法向量为。设二面角为，则。
又：二面角为锐二面角从而．
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