立体机翻折问题
1．在直角梯形pbcd中，，a为pd的中点，如图．将△pab沿ab折到△sab的位置，使sb⊥bc，点e在sd上，且，如图．
ⅰ）求证：sa⊥平面abcd；
ⅱ）求二面角e﹣ac﹣d的正切值．
答案】（ⅰ证明见解析（ⅱ）
解析】试题分析：（法一）（1）由题意可知，翻折后的图中sa⊥ab①，易证bc⊥sa②，由①②根据直线与平面垂直的判定定理可得sa⊥平面abcd；
2）（三垂线法）由考虑在ad上取一点o，使得 ，从而可得eo∥sa，所以eo⊥平面abcd，过o作oh⊥ac交ac于h，连接eh，∠eho为二面角e﹣ac﹣d的平面角，在rt△aho中求解即可。
法二：空间向量法）
1）同法一。
2）以a为原点建立直角坐标系，易知平面acd的法向为，求平面eac的法向量，代入公式求解即可。
解法一：（1）证明：在题平面图形中，由题意可知，ba⊥pd，abcd为正方形，所以在翻折后的图中，sa⊥ab，sa=2，四边形abcd是边长为2的正方形，因为sb⊥bc，ab⊥bc，sb∩ab=b
所以bc⊥平面sab，又sa平面sab，所以bc⊥sa，又sa⊥ab，bc∩ab=b
所以sa⊥平面abcd，2）在ad上取一点o，使，连接eo
因为，所以eo∥sa
因为sa⊥平面abcd，所以eo⊥平面abcd，过o作oh⊥ac交ac于h，连接eh，则ac⊥平面eoh，所以ac⊥eh．
所以∠eho为二面角e﹣ac﹣d的平面角，．
在rt△aho中，即二面角e﹣ac﹣d的正切值为。
解法二：（1）同方法一。
2）解：如图，以a为原点建立直角坐标系，a（0，0，0），b（2，0，0），c（2，2，0），d（0，2，0），s（0，0，2），e（0，）
平面acd的法向为。
设平面eac的法向量为=（x，y，z），由，所以，可取。
所以=（2，﹣2，1）．
所以。所以。
即二面角e﹣ac﹣d的正切值为。
考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．
2．如图，是边长为的等边三角形，，分别为，靠近，的三等分点，点为边的中点，线段交线段于点，将沿翻折，使平面⊥平面，连接，，形成如图所示的几何体．
ⅰ）求证：⊥平面；
ⅱ）求二面角的余弦值．
答案】（ⅰ证明见解析。
解析】试题分析： （由已知条件在图1中，可得de⊥af，de⊥gf，de∥bc．在图2中，因为de⊥af，de⊥gf，af∩fg＝f，得到de⊥平面afg．又de∥bc，所以bc⊥平面afg．
ⅱ）由面面垂直的性质定理可得平面，又因为de⊥gf，可得fa，fd，fg两两垂直． 以点f为坐标原点，分别以fg，fd，fa所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系f－xyz．
写出所用各点坐标，求出平面abe的法向量及平面ade的法向量，求出两法向量夹角的余弦，由图形可知二面角b－ae－d为钝角，二面角的余弦值是一个负值．
试题解析：（ⅰ证明：在图1中，由△abc是等边三角形，e，d分别为ab，ac的三等分点，点g为bc边的中点，则de⊥af，de⊥gf，de∥bc．
在图2中，因为de⊥af，de⊥gf，af∩fg＝f，所以de⊥平面afg．
又de∥bc，所以bc⊥平面afg．
ⅱ）解：因为平面aed⊥平面bcde，平面aed∩平面bcde＝de，af⊥de，所以， 平面
又因为de⊥gf，所以fa，fd，fg两两垂直．
以点f为坐标原点，分别以fg，fd，fa所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系f－xyz．
则a（0，0，2），b（，－3，0），e（0，－2，0），所以＝（，3，－2），＝1，0）．
设平面abe的法向量为＝（x，y，z），则即。
取x＝1，则y＝，z＝－1，则n＝（1，，－1）．
显然＝（1，0，0）为平面ade的一个法向量，所以 cos〈，〉
由图形可知二面角b－ae－d为钝角，所以，二面角b－ae－d的余弦值为．
考点：证明线面垂直及求二面角的余弦值．
方法点睛】（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值；（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．
3．正的边长为4，cd是ab边上的高，e、f分别是ac和bc边的中点，现将沿cd翻折成直二面角a-dc-b.
1）试判断直线ab与平面def的位置关系，并说明理由；
2）求二面角e-df-c的余弦值；
3）**段bc上是否存在一点p，使？若存在，请指出p点的位置，若存在，请说明理由。
答案】（1）平行（2）（3）靠近b的三等分点。
解析】试题分析：（1）判定线面关系，可从线线关系寻找，由线段中点，可利用中位线性质得线线平行，再利用线面平行判定定理确定，（2）求二面角，一般利用空间直角坐标系，结合空间向量的数量积解决：先以点d为坐标原点，直线db、dc、da为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，再分别计算平面cdf及平面edf的法向量，其中平面edf的法向量需列方程组求解，最后利用空间向量数量积求夹角的余弦值，经判断所求二面角为锐角得结论（3）确定点的位置，一般利用空间直角坐标系求出点的坐标，再明确位置关系。
要求点p的坐标，只需列两个独立条件，一个为在直线上，另一个为垂直：可设，再转化条件为，解得，即可确定p位置。
试题解析：（1）如图，在中，由e、f分别是ac、bc中点，得，又平面def，平面def，∴平面def.
2）由题知，，平面平面bdc，且交线为dc，平面bdc，∴，又已知，两两垂直，以点d为坐标原点，直线db、dc、da为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，
平面cdf的法向量为，设平面edf的法向量为，则，即，取，二面角e-df-c的余弦值为。
3）设，则，∴，又，，，把代入上式得，∴，**段bc上存在点，即靠近b的三等分点，使。
考点：线面平行判定定理，利用空间向量求二面角、确定点的位置。
名师点睛】判断或证明线面平行的常用方法有：
1）利用线面平行的定义（无公共点）；
2）利用线面平行的判定定理（aα，bα，a∥ba∥α）
3）利用面面平行的性质定理（α∥aαa∥β）
4．如图，已知长方形中，，为的中点，将沿折起，使得平面平面．
1）求证：；
2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为．
答案】（1）证明见解析；（2）为的中点．
解析】试题分析：（1）先利用面面垂直的性质和等腰三角形的三线合一证得线面垂直，建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量的数量积为0进行证明；（2）利用点是线段上的一动点，设出，再求两个平面的法向量，进行求解．
试题解析：（1）因为平面平面，，为的中点，取的中点，连结，则平面，取的中点，连结，则，以为原点如图建立空间直角坐标系，根据已知条件，得。
则，所以，故．
2）设，因为平面的一个法向量，．
设平面的一个法向量为，取，得，所以，因为，求得，所以为的中点．
考点：1．空间中垂直关系的转化；2．二面角；3．空间向量在立体几何的应用．
方法点睛】本题考查折叠问题、空间中的垂直关系的转化、利用空间向量求二面角，属于中档题；处理立体几何中的折叠问题的关键是，正确弄清折叠前后的位置关系和度量的哪些量发生变化，哪些量没有发生变化，有哪些垂直或平行关系，有哪些可以度量，再考虑如何和建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解．
5．如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.
1）求证：平面；
2）求二面角的余弦值；
3）判断**段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
答案】（1）见解析；（2）；（3）不存在，理由见解析．
解析】试题分析：（1）易证得，结合可推出平面，从而推出，进而结合翻折的性质可使问题得证；（2）以分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，得到相关点坐标与相关向量，利用空间夹角公式求解；（3）假设存在点，求出平面的一个法向量，从而根据两平面垂直两法向量的数量积为0，求出的值，从而作出判断．
试题解析：：（1）∵，又∵，，平面。∴，又∵，，平面；（4分）
2）∵平面，，∴以，，分别为轴，轴和轴，如图建立空间直角坐标系，易知，则，，，平面的一个法向量，设平面的法向量，由，，得，令，得，∴，由图，得二面角为钝二面角，∴二面角的余弦值为；
3）假设**段上存在一点，使得平面平面，设，则，，设平面的法向量为，由，，得，令，得，∵平面平面，∴，即，解得，，∴**段上不存在点，使得平面平面．（12分 ）
考点：1、空间垂直关系的判定与性质；2、二面角；3、空间向量的应用．
方法点睛】证明空间直线与平面垂直的方法有：一是利用线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理．在解题时，要注意线线、线面与面央关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系．
6．如图，在中，，，点在边上，设，过点作交于，作交于。沿将翻折成使平面平面；沿将翻折成使平面平面．
1）求证：平面；
2）是否存在正实数，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案】（1）证明见详解；（2）不存在，理由见解析．
解析】试题分析：（1）以为坐标原点，以、分别为轴、轴建立空间直角坐标系，然后通过证明向量与平面平面的法向量垂直；本小题也可考虑通过证明平面平面来证明；（2）由条件知二面角为直二面角，因此可通过两个半平面的法向量互相垂直，即其数量积为通过建立方程来解决．
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