例1】（2023年高考课标ⅱ卷（文））如图，直三棱柱abc-a1b1c1中，d,e分别是ab,bb1的中点。
1) 证明： bc1//平面a1cd;
2) 设aa1= ac=cb=2,ab=,求三棱锥c一a1de的体积。
答案】例2】（2012陕西）直三棱柱abc﹣a1b1c1中，ab=a a1，∠cab=
ⅰ）证明：cb1⊥ba1；
ⅱ）已知ab=2，bc=，求三棱锥c1﹣aba1的体积．
例3】（2012广东）如图所示，在四棱锥p﹣abcd中，ab⊥平面pad，ab∥cd，pd=ad，e是pb的中点，f是cd上的点且，ph为△pad中ad边上的高．
1）证明：ph⊥平面abcd；
2）若ph=1，，fc=1，求三棱锥e﹣bcf的体积；
3）证明：ef⊥平面pab．
分析：（1）因为ab⊥平面pad，所以ph⊥ab，因为ph为△pad中ad边上的高，所以ph⊥ad，由此能够证明ph⊥平面abcd．
2）连接bh，取bh中点g，连接eg，因为e是pb的中点，所以eg∥ph，因为ph⊥平面abcd，所以eg⊥平面abcd，由此能够求出三棱锥e﹣bcf的体积．
3）取pa中点m，连接md，me，因为e是pb的中点，所以，因为me，所以medf，故四边形medf是平行四边形．由此能够证明ef⊥平面pab
例4】（2023年高考浙江卷（文））如图，在在四棱锥p-abcd中，pa⊥面abcd,ab=bc=2,ad=cd=,pa=,∠abc=120°,g为线段pc上的点。
ⅰ)证明：bd⊥面pac ;
ⅱ)若g是pc的中点，求dg与apc所成的角的正切值；
ⅲ)若g满足pc⊥面bgd,求的值。
答案】解：证明：(ⅰ由已知得三角形是等腰三角形，且底角等于30°,且，所以；、,又因为；
ⅱ)设，由(1)知，连接，所以与面所成的角是，由已知及(1)知：, **：21世纪教育网]
所以与面所成的角的正切值是；
ⅲ)由已知得到：,因为，在中， ,设
例5】（2023年高考新课标1（理））如图，三棱柱abc-a1b1c1中，ca=cb,ab=a a1,∠ba a1=60°.
ⅰ)证明ab⊥a1c;
ⅱ)若平面abc⊥平面aa1b1b,ab=cb=2,求直线a1c 与平面bb1c1c所成角的正弦值。
答案】(ⅰ取ab中点e,连结ce,,,
ab=,=是正三角形，
⊥ab, ∵ca=cb, ∴ce⊥ab, ∵e,∴ab⊥面，
ab⊥; ⅱ)由(ⅰ)知ec⊥ab,⊥ab,
又∵面abc⊥面，面abc∩面=ab,∴ec⊥面，∴ec⊥,
ea,ec,两两相互垂直，以e为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，
有题设知a(1,0,0),(0,,0),c(0,0,),b(-1,0,0),则=(1,0,),1,0,),0,-,
设=是平面的法向量，
则，即，可取=(,1,-1),
直线a1c 与平面bb1c1c所成角的正弦值为
例6】（12分）（2013湖南）如图．在直棱柱abc﹣a1b1c1中，∠bac=90°，ab=ac=，aa1=3，d是bc的中点，点e在棱bb1上运动．
1）证明：ad⊥c1e；
2）当异面直线ac，c1e 所成的角为60°时，求三棱锥c1﹣a1b1e的体积．
解：（1）∵直棱柱abc﹣a1b1c1中，bb1⊥平面abc，ad平面abc，∴ad⊥bb1
△abc中，ab=ac，d为bc中点，∴ad⊥bc
又∵bc、bb1平面bb1c1c，bc∩bb1=b
ad⊥平面bb1c1c，结合c1e平面bb1c1c，可得ad⊥c1e；
2）∵直棱柱abc﹣a1b1c1中，ac∥a1c1，∠ec1a1（或其补角）即为异面直线ac、c1e 所成的角。
∠bac=∠b1a1c1=90°，∴a1c1⊥a1b1，又∵aa1⊥平面a1b1c1，可得a1c1⊥aa1，结合a1b1∩aa1=a1，可得a1c1⊥平面aa1b1b，a1e平面aa1b1b，∴a1c1⊥a1e
因此，rt△a1c1e中，∠ec1a1=60°，可得cos∠ec1a1==，得c1e=2a1c1=2
又∵b1c1==2，∴b1e==2
由此可得v=s△×a1c1=×=
例7】如图，四棱锥中，平面，为的中点，为的中点，,连接并延长交于。
1）求证：平面；
2）求平面与平面的夹角的余弦值。
例8】（13分）（2013重庆。理）如图，四棱锥p﹣abcd中，pa⊥底面abcd，bc=cd=2，ac=4，∠acb=∠acd=，f为pc的中点，af⊥pb．
1）求pa的长；
2）求二面角b﹣af﹣d的正弦值．
解：（i）如图，连接bd交ac于点o
bc=cd，ac平分角bcd，∴ac⊥bd
以o为坐标原点，ob、oc、od分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系o﹣xyz，则oc=cdcos=1，而ac=4，可得ao=ac﹣oc=3．
又∵od=cdsin=，可得a（0，﹣3，0），b（，0，0），c（0，1，0），d（﹣，0，0）
由于pa⊥底面abcd，可设p（0，﹣3，z）
f为pc边的中点，∴f（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），3，﹣z），且af⊥pb，=6﹣=0，解之得z=2（舍负）
因此，=（0，0，﹣2），可得pa的长为2；
ii）由（i）知=（﹣3，0），=3，0），=0，2，），设平面fad的法向量为=（x1，y1，z1），平面fab的法向量为=（x2，y2，z2），=0且=0，∴，取y1=得=（3，，﹣2），同理，由=0且=0，解出=（3，﹣，2），向量、的夹角余弦值为cos＜，＞
因此，二面角b﹣af﹣d的正弦值等于=
空间向量与立体几何典型例题
一 选择题 1 2008全国 卷理 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于 c a bc d 1.解 c 由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，则，棱柱的高 即点到底面的距离 故与底面所成角的正弦值为。另解 设为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为。长度均...
高考数学立体几何部分典型例题
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理科立体几何
第16节 攻破解答题4 空间向量与立体几何 1 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点e是sd上的点，且。1 求证 对任意的，都有ac be 2 若二面角c ae d的大小为，求的值。2 如图，正三棱柱abc a1b1c1中，底面边长为2，侧棱长为，为中点 求证 平面 求二面角a1 ab1 d的大小 ...