一、选择题：
1．(2008全国ⅰ卷理)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（ c ）
a． bc． d．
1.解：c．由题意知三棱锥为正四面体，设棱长为，则，棱柱的高（即点到底面的距离），故与底面所成角的正弦值为。
另解：设为空间向量的一组基底，的两两间的夹角为。
长度均为，平面的法向量为，则与底面所成角的正弦值为。
二、填空题：
1．(2008全国ⅰ卷理)等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 ．
1.答案：.设，作。
则，为二面角的平面角。
结合等边三角形。
与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则。
故所成角的余弦值。
另解：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点，则，故所成角的余弦值。
三、解答题：
1．（2008安徽文）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, 为的中点。
ⅰ）求异面直线ab与md所成角的大小；
ⅱ）求点b到平面ocd的距离。
1．方法一（综合法）
为异面直线与所成的角（或其补角）
作连接，所以与所成角的大小为。
２）点a和点b到平面ocd的距离相等，连接op,过点a作于点q，又 ,线段aq的长就是点a到平面ocd的距离，，所以点b到平面ocd的距离为。
方法二(向量法)作于点p,如图，分别以ab,ap,ao所在直线为轴建立坐标系。
1)设与所成的角为，
与所成角的大小为。
设平面ocd的法向量为，则。
即 取，解得。
设点b到平面ocd的距离为，则为在向量上的投影的绝对值，
所以点b到平面ocd的距离为。
2．（2008安徽理）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, 为的中点，为的中点。
ⅰ）证明：直线；
ⅱ）求异面直线ab与md所成角的大小；
ⅲ）求点b到平面ocd的距离。
2． 方法一（综合法）
（1）取ob中点e，连接me，ne又。
为异面直线与所成的角（或其补角）
作连接，所以与所成角的大小为。
（3）点a和点b到平面ocd的距离相等，连接op,过点a作。
于点q，又 ,线段aq的长就是点a到平面ocd的距离，，所以点b到平面ocd的距离为。
方法二(向量法)
作于点p,如图，分别以ab,ap,ao所在直线为轴建立坐标系。
设平面ocd的法向量为，则。
即 取，解得。
2)设与所成的角为， 与所成角的大小为。
3)设点b到平面ocd的交流为，则为在向量上的投影的绝对值，由 , 得。所以点b到平面ocd的距离为。
3．（2008北京文）如图，在三棱锥p-abc中，ac=bc=2，∠acb=90°，ap=bp=ab，pc⊥ac.
ⅰ）求证：pc⊥ab；
ⅱ）求二面角b-ap-c的大小。
3．解法一：（ⅰ取ab中点d，连结pd，cd.
ap=bp，pd⊥ab.
ac=bc.
cd⊥ab.
pd∩cd＝d.
ab⊥平面pcd.
pc平面pcd，pc⊥ab.
ⅱ）∵ac=bc,ap=bp,△apc≌△bpc.
又pc⊥ac，pc⊥bc.
又∠acb＝90°，即ac⊥bc，且ac∩pc=c，ab＝bp，be⊥ap.
ec是be在平面pac内的射影，ce⊥ap.
∠bec是二面角b-ap-c的平面角。
在△bce中，∠bce=90°,bc=2,be=，sin∠bec=
二面角b-ap-c的大小为aresin
解法二：ⅰ）∵ac=bc,ap=bp,△apc≌△bpc.
又pc⊥ac.
pc⊥bc.
ac∩bc=c,pc⊥平面abc.
ab平面abc，pc⊥ab.
(ⅱ)如图，以c为原点建立空间直角坐标系c-xyz.
则c（0，0，0），a（0，2，0），b（2，0，0）.
设p（0，0，t）,｜pb｜=｜ab｜＝2，t=2,p(0,0,2).
取ap中点e，连结be，ce.
｜ac｜=｜pc｜,｜ab｜=｜bp｜,ce⊥ap,be⊥ap.
∠bec是二面角b-ap-c的平面角。
e(0,1,1),cos∠bec=
二面角b-ap-c的大小为arccos
4．（2008北京理）如图，在三棱锥中，，，
ⅰ）求证：；
ⅱ）求二面角的大小；
ⅲ）求点到平面的距离．
4．解法一：
ⅰ）取中点，连结．
平面．平面，ⅱ）又，又，即，且，平面．
取中点．连结．
是在平面内的射影，是二面角的平面角．
在中，二面角的大小为．
ⅲ）由（ⅰ）知平面，平面平面．
过作，垂足为．
平面平面，平面．
的长即为点到平面的距离．
由（ⅰ）知，又，且，平面．
平面，在中， ．
点到平面的距离为．
解法二：ⅰ），又，平面．
平面，ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．则．设．
取中点，连结．，．
是二面角的平面角．，二面角的大小为．
ⅲ），在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．
如（ⅱ）建立空间直角坐标系．
点的坐标为． ．
点到平面的距离为．
5． (2008福建文) 如图，在四棱锥中，侧面pad⊥底面abcd,侧棱pa=pd=,底面abcd为直角梯形，其中bc∥ad,ab⊥cd,ad=2ab=2bc=2,o为ad中点。（1）求证：po⊥平面abcd;
2）求异面直线pb与cd所成角的余弦值；（3）求点a到平面pcd的距离。
5.解：如图，a(0,-1,0),b(1,-1,0),c(1,0,0),d(0,1,0),p(0,0,1)
所以。所以异面直线所成的角的余弦值为：
2)设平面pcd的法向量为，所以 ；
令x=1,则y=z=1,所以又。
则，点a到平面pcd的距离为：
6．(2008福建理) 如图，在四棱锥p-abcd中，则面pad⊥底面abcd，侧棱pa=pd＝，底面abcd为直角梯形，其中bc∥ad,ab⊥ad,ad=2ab=2bc=2,o为ad中点。
ⅰ）求证：po⊥平面abcd；
ⅱ）求异面直线pd与cd所成角的大小；
ⅲ）线段ad上是否存在点q，使得它到平面pcd的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
6．本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分12分。
解法一：（ⅰ）证明：在△pad中pa=pd,o为ad中点，所以po⊥ad,又侧面pad⊥底面abcd,平面平面abcd=ad, 平面pad，所以po⊥平面abcd.
ⅱ）连结bo，在直角梯形abcd中、bc∥ad，ad=2ab=2bc,有od∥bc且od=bc,所以四边形obcd是平行四边形，所以ob∥dc.
由（ⅰ）知，po⊥ob,∠pbo为锐角，所以∠pbo是异面直线pb与cd所成的角。
因为ad=2ab=2bc=2,在rt△aob中，ab=1,ao=1,所以ob＝，在rt△poa中，因为ap＝，ao＝1，所以op＝1，在rt△pbo中，tan∠pbo＝
所以异面直线pb与cd所成的角是。
ⅲ）假设存在点q，使得它到平面pcd的距离为。
设qd＝x，则，由（ⅱ）得cd=ob=，在rt△poc中，
所以pc=cd=dp,
由vp-dqc=vq-pcd,得2，所以存在点q满足题意，此时。
解法二：ⅰ)同解法一。
ⅱ)以o为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系o-xyz,依题意，易得a(0,-1,0),b(1,-1,0),c(1,0,0),d(0,1,0),p(0,0,1),所以。
所以异面直线pb与cd所成的角是arccos，(ⅲ假设存在点q，使得它到平面pcd的距离为，由(ⅱ)知。
设平面pcd的法向量为n=(x0,y0,z0).
则所以即，取x0=1,得平面pcd的一个法向量为n=(1,1,1).
设由，得解y=-或y=(舍去)，此时，所以存在点q满足题意，此时。
7、(2008海南、宁夏理)如图，已知点p在正方体abcd－a1b1c1d1的对角线bd1上，∠pda=60°。
1）求dp与cc1所成角的大小；（2）求dp与平面aa1d1d所成角的大小。
7．解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．
则，．连结，．
在平面中，延长交于．
设，由已知，由。
可得．解得，所以．
ⅰ）因为，所以．
即与所成的角为．
ⅱ）平面的一个法向量是．
因为，所以．
可得与平面所成的角为．
8. (2008湖北文)如图，在直三棱柱中，平面侧面。
（ⅰ）求证：
（ⅱ）若，直线ac与平面所成的角为，二面角。
8.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力和推理论证能力。（满分12分）
(ⅰ)证明：如右图，过点a在平面a1abb1内作ad⊥a1b于d，则。
由平面a1bc⊥侧面a1abb1,且平面a1bc∩侧面a1abb1＝a1b，得ad⊥平面。
a1bc.又bc平面a1bc
所以ad⊥bc.
因为三棱柱abc－a1b1c1是直三棱柱，则aa1⊥底面abc,所以aa1⊥bc.
又aa1∩ad=a,从而bc⊥侧面a1abb1,又ab侧面a1abb1，故ab⊥bc.
(ⅱ)证法1：连接cd,则由(ⅰ)知∠acd就是直线ac与平面a1bc所成的角，∠aba1就是二面角a1－bc－a的颊角，即∠acd＝θ，aba1= .
于是在rtδadc中，sinθ=,在rtδada1中，sin∠aa1d＝,∴sinθ=sin∠aa1d,由于θ与∠aa1d都是锐角，所以θ＝∠aa1d.
又由rtδa1ab知，∠aa1d＋ ＝aa1b＋ ＝故θ＋
证法2：由(ⅰ)知，以点b为坐标原点，以bc、ba、bb1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。
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