高中数学必背公式——立体几何与空间向量。
知识点复习：
1. 空间几何体的三视图“长对正、高平齐、宽相等”的规律。
2. 在计算空间几何体体积时注意割补法的应用。
3. 空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化：
线线平行线面平行面面平行，线线垂直线面垂直面面垂直。
4．求角：（1）异面直线所成的角：
可平移至同一平面；也可利用空间向量： =
其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）。
2）直线与平面所成的角：
在斜线上找到任意一点，过该点向平面作垂线，找到斜线在该平面上的射影，则斜线和射影所成的角便是直线与平面所成的角；也可利用空间向量，直线与平面所成角。
为平面的法向量).
3）二面角：
方法一：常见的方法有三垂线定理法和垂面法；
方法二：向量法：二面角的平面角或，为平面， 的法向量）.
5. 求空间距离：
1）点与点的距离、点到直线的距离，一般用三垂线定理“定性”；
2）两条异面直线的距离：（同时垂直于两直线，、分别在两直线上）；
3）求点面距：（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）；
3）线面距、面面距都转化为点面距。
题型一：空间几何体的三视图、体积与表面积。
例1：已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如右，若图中圆的半径为，等腰三角形的腰。
长为，则该几何体的体积是（ ）
ab. cd.
例2：某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积。
为（ ）ab. cd.
例3：右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）
ab． cd．
题型二：空间点、线、面位置关系的判断。
例4：已知、是不重合的直线，和是不重合的平面，有下列命题：
1）若，∥，则∥；（2）若∥，∥则∥；
3）若，∥，则∥且∥；
4）若， ，则∥.
其中真命题的个数是（ ）
a．0b．1c．2d．3
例5：给出以下四个命题：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直；
其中真命题的个数是( )
a．4b．3c．2d．1
例6：给出下列命题。
过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行；③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直；
其中正确命题的个数为（ ）
a．0个b．1个c．2个d．3个。
题型三：空间线面位置关系的证明和角的计算。
例7：空间四边形中，且成的角，点、分别为、的中点，求异面直线和成的角．
例8：已知三棱锥中，平面，为上一点，，，分别为，的中点。
1）证明：；（2）求与平面所成角的大小。
例9：如图，四棱锥中，⊥底面，⊥．
底面为梯形，，．点在棱上，且．
1）求证：平面⊥平面；
2）求证：∥平面；
3）求平面和平面所成锐二面角的余弦值．
例10：已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，是的中点。
1）证明：面⊥面；
2）求与所成的角余弦值；
3）求面与面所成二面角的余弦值。
题型四：空间距离的计算。
例11：点是线段的中点，若、到平面的距离分别为和，则点到平面的距离为。
例12：如图，在空间四边形abcd中，ab=bc=cd=da=ac=bd=a，e、f分别是ab、cd的中点。
1）求证：ef是ab和cd的公垂线；（2）求ab和cd间的距离；
例13：如图，在长方体中，在上，且，在上，且，1）求点到直线的距离；（2）求点到平面的距离。
例14：如图，正方形与成的二面角，且正方形的边长为，、分别为，的中点，求异面直线与的距离。
例15：如图，四棱锥p-abcd的底面是正方形，
求异面直线ab与pc的距离。
例16：已知是底面边长为的正四棱柱，为与的交点．
1）设与底面所成角的大小为，二面角的大小为。
求证：；2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高．
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