一、选择题和填空题。
1．（海淀·理科·题5）（海淀·文科·题6）
一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（ ）
a． b． c． d．
1【解析】 a；
设该三棱柱底面边长为，高为，则左视图面积为．由三视图可得：
解得．于是为所求．
2．（丰台·理科·题10）（丰台·文科·题9）
若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：），则该几何体的体积是。
1【解析】 ；
3．（石景山·理·题4）（石景山·文·题4）
一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：）为（ ）
abcd．
解析】 a；
几何体如图，是正四棱锥，底边长，侧面底边上的高为，因此侧面积为．
4．（西城·理·题8）
如图，平面平面， =直线，是内不同的两点，是内不同的两点，且直线，分别是线段的中点．下列判断正确的是（ ）
a．当时，两点不可能重合。
b．两点可能重合，但此时直线与不可能相交。
c．当与相交，直线平行于时，直线可以与相交。
d．当是异面直线时，直线可能与平行。
1【解析】 b；
若两点重合，由知，从而平面，故有，故b正确．
5．（西城·文·题8）
如图，平面平面， =直线，是内不同的两点，是内不同的两点，且直线，分别是线段的中点．下列判断正确的是（ ）
a．当时，两点不可能重合。
b．当时，线段在平面上正投影的长度不可能相等。
c．两点可能重合，但此时直线与不可能相交。
d．当与相交，直线平行于时，直线可以与相交。
1【解析】 c；
若两点重合，由知，从而平面，故有，故c正确．
6．（东城·理·题9）
下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为。
1【解析】 ；
由俯视图得此三棱锥的底面三角形面积为，又高为，故体积为．
7．（东城·文·题3）
已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积是（ ）
a． b． c． d．
1【解析】 c；
由三视图知该几何体为一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，它的表面积为．
8．（宣武·理·题10）
若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 ．
解析】 6；
几何体如图所示，正面为的正方形，侧面为直角梯形，两个底边长分别为和，因此不难算出体积为．
9．（宣武·文·题11）
若将下面的展开图恢复成正方体，则的度数为。
解析】 ；恢复的图形如图，是正三角形，．
10．（崇文·理·题5）（崇文·文·题6）
已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的为 (
a．若则 b．若则。
c．若，则 d．若则。
解析】 b；
a中可以是任意关系；b正确；c中平行于同一平面，其位置关系可以为任意．d中平行于同一直线的平面可以相交或者平行．
11．（崇文·文·题3）
有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：），该几何体的表面积和体积为（ ）
a． b． c． d．以上都不正确。
解析】 a；
易知几何体为母线长为5cm，底面直径为6cm的圆锥．
于是表面积为；体积为．
12．（朝阳·理·题4）
一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆； ④椭圆．其中正确的是（ ）
a．①②b．②③
c．③④d．①④
解析】 b；
易知其俯视图可能为边长为3，2的矩形；亦可能为半长轴为3，半短轴为2的椭圆．
13．（朝阳·理·题8）
一个空间四边形的四条边及对角线的长均为，二面角的余弦值为，则下列论断正确的是 （
a．空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为．
b．空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为。
c．空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为。
d．不存在这样的球使得空间四边形的四个顶点在此球面上．
解析】 a；
易知四面体为边长为的正四面体．容易计算有其外接球的半径为．于是外接球的表面积为．
14．（朝阳·文·题8）
如图，设平面，垂足分别为，且，如果增加一个条件就能推出，给出四个条件：①；与在内的正投影在同一条直线上；④与在平面内的正投影所在直线交于一点． 那么这个条件不可能是（ ）
a．①②b．②③c．③ d．④
解析】 d；
在①②③的条件下，均有．
若能证明面．由面，则可证明．
中．又由，知面．
中由，知面．
由面在内的正投影为直线，知面．
又面，，知面．
15．（朝阳·文·题12）
如下图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为。
解析】 ．易知该几何体是底面直径为1，高为1的圆柱．
于是其全面积为．
二、解答题。
16．（海淀·理科·题17）
如图，三棱柱中，侧面底面，且，为中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置．
2【解析】 ⑴证明：因为，且为的中点，所以．
又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，所以平面．
如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．
由题意可知，，又。
所以得：，，则有：，．
设平面的一个法向量为，则有。
令，得， 所以．
因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以．
设， 即，得．
所以，得。令平面，得，即，得，即存在这样的点，为的中点．
17．（海淀·文科·题17）
如图：在四棱锥中，底面是菱形，，平面，点、分别为、的中点，且．
证明：平面；
求三棱锥的体积；
**段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
1【解析】 ⑴因为为菱形，所以。
又，所以，又为中点，所以。
而平面，平面，所以。
又，所以平面。
因为。又底面，，所以。
所以，三棱锥的体积。
存在。取中点，连结，因为，分别为、中点，所以且。
又在菱形中，，
所以，，即是平行四边形。
所以，又平面，平面。
所以平面，即在上存在一点，使得平面，此时．
18．（丰台·理科·题16）
如图，在底面是正方形的四棱锥中， 面，交于点，是中点，为上一点．
求证：；确定点**段上的位置，使//平面，并说明理由．
当二面角的大小为时，求与底面所成角的正切值．
2【解析】 ⑴面，四边形是正方形，其对角线，交于点，，．
平面，平面，当为中点，即时，平面，理由如下：
连结，由为中点，为中点，知，而平面，平面，故平面．
作于，连结，面，四边形是正方形，又∵，，且，是二面角的平面角，
即，⊥面，∴就是与底面所成的角。
连结，则，， 与底面所成角的正切值是．
另解：以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形的边长为，则，要使平面，只需，而，由可得，解得，，，
故当时，平面。
设平面的一个法向量为，则，而，，，取，得，同理可得平面的一个法向量。
设所成的角为，则，即，∴，
面，∴就是与底面所成的角，．
19．（丰台·文科·题16）
如图，在底面是正方形的四棱锥中， 面，交于点，是中点，为上一点．
求证：；确定点**段上的位置，使//平面，并说明理由．
1【解析】 ⑴面，四边形是正方形，其对角线、交于点，，．
平面，平面，
当为中点，即时，平面，理由如下：
连结，由为中点，为中点，知，而平面，平面，故//平面．
20．（石景山·理·题17）
如图，已知直三棱柱，，是棱上动点，是中点 ，，
求证：平面；
当是棱中点时，求证：∥平面；
在棱上是否存在点，使得二面角的大小是，若存在，求的长，若不存在，请说明理由．
解析】 ⑴证明：⑴∵三棱柱是直棱柱，∴平面．
又∵平面， ．是中点，．，平面．
证明：取的中点，联结，．
、分别是棱、中点，，
又∵，，四边形是平行四边形，∥．
又∵平面，平面，平面．
以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．
设，平面的法向量，则，．
且，．于是。
所以。取，则
三棱柱是直棱柱，平面．
又∵平面， ．平面．
是平面的法向量，．
二面角的大小是，则．
解得．在棱上存在点，使得二面角的大小是，此时．
21．（石景山·文·题17）
如图，已知直三棱柱，，，分别是棱、中点．
求证： ；求四棱锥的体积；
判断直线和平面的位置关系，并加以证明．
解析】 ⑴三棱柱是直棱柱，平面．
又∵平面，
解：∵三棱柱是直棱柱，平面．
又∵平面， ．平面．
是棱的中点，．
解：平面．证明如下：
取的中点，联结，．
、分别是棱、中点，，
又∵，，四边形是平行四边形，
又∵平面，平面，
平面．22．（西城·理·题17）
在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，， 90°，，
求证： 平面；
求证：平面；
设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为45°．
2【解析】 ⑴取的中点，连结，因为为中点，所以，且。
在梯形中，所以，，四边形为平行四边形，所以，平面， 平面，所以平面．
平面底面，，所以平面，所以．
如图，以为原点建立空间直角坐标系．
则，，，所以．
又由平面，可得，所以平面．
平面的法向量为，所以，设平面的法向量为，由，，得，所以，所以，注意到，得．
23．（西城·文·题17）
如图，在三棱锥中，平面，，为侧棱上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．
证明：平面；
求三棱锥的体积；
在的平分线上确定一点，使得平面，并求此时的长．
2【解析】 ⑴因为平面，所以，又，所以平面，所以．
由三视图可得，在中，，为中点，所以，所以平面，由三视图可得，由⑴知，平面，又三棱锥的体积即为三棱锥的体积，所以，所求三棱锥的体积．
取的中点，连接并延长至，使得，点即为所求．
因为为中点，所以，因为平面，平面，所以平面，连接，，四边形的对角线互相平分，所以为平行四边形，所以，又平面，所以在直角中，．
24．（东城·理·题17）
如图所示，在边长为的正方形中，点**段上，且，，作，分别交，于点，，作，分别交，于点，，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱．
空间向量与立体几何高考专题
1 如下图，四边形为正方形，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且 1 证明 平面平面 2 求与平面所成角的正弦值 2 如上右图，在三棱柱中，平面，分别为，的中点，1 求证 平面 2 求二面角的余弦值 3 证明 直线与平面相交 3 如下图，在三棱锥中，为的中点 1 证明 平面 2 若点...
《空间向量与立体几何
高二 2 部数学 空间向量与立体几何 单元测试卷二。班级 姓名 一 选择题 每小题5分，共60分 1.如图，在平行六面体abcd a1b1c1d1中，m为ac与bd的交点。若 a，b，c，则下列向量中与相等的向量是。a.a b cb.a b c c.a b cd.a b c 2.下列等式中，使点m与...
空间向量与立体几何
空间向量与立体几何 1 2010 7 20 命题人 朱老师学号姓名 一 选择题 每小题 分，共50分 1.已知向量，且与互相垂直，则的值是。a.1 b.c.d.2.已知a 2，1，3 b 4，x，2 且a b，则x的值是。3.已知向量，若，则的值是。a.或 b.3或c.d.4.如图，长方体abcd ...