江苏省姜堰中学张圣官 （225500）
以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是不少立体几何题的主要特征。用空间向量解立体几何问题，较为程序化，思路自然且较少添加辅助线，更易于被学生接受。下面结合事例来说明空间向量与立体几何解题。
1 空间向量与异面直线夹角。
在立几中，要求两异面直线的夹角，可以通过两向量的夹角公式来求得，但要注意异面直线的夹角只能为锐角或直角。
例1（2023年高考新课程卷试题）如图，直三棱柱abc—a1b1c1的底面三角形abc中，ca=cb=1，∠bca=900，棱aa1=2，m、n分别是a1b1、a1a的中点。
1）求的长；（2）求的值。
解：以c为原点建立如图空间直角坐标系，1）b（0，1，0），n（1，0，1），∴
∴，且， ∴
2 空间向量与线面垂直问题。
设非零向量，，运用该结论可较快地处理立几中的线线垂直与线面垂直问题。
例2 如图，已知正方体abcd—a1b1c1d1的棱长为 1，m是棱aa1的中点，点o是对角线bd1的中点。
1）求证：bd1⊥ac；
（2）求证：om是异面直线aa1与bd1的公垂线。
证明：以d为原点，dc、da、dd1所在的直线分别为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则d(0,0,0),c(1,0,0),b(1,1,0),d1(0,0,1), m(0,1,) o
（1），，即bd1⊥ac
（2），因为，， 所以om⊥aa1，om⊥bd1，即om是异面直线aa1与bd1的公垂线。
3 空间向量与线面平行问题。
向量与非零向量平行的充要条件是存在唯一的实数，使。如果平面外直线的方向向量与平面内一直线的方向向量平行，则线面平行；如果两平面α与β的法向量平行，则α∥β
例3 如图，在正方体abcd—a1b1c1d1中，m、n分别是棱a1b1、a1d1的中点，e、f分别是棱b1c1、c1d1的中点。
求证：（1）e、f、b、d四点共面；
2）平面amn∥平面bdfe。
证明：以d为原点，dc、da、dd1所在的直线分别。
为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系。
设正方体棱长为1，则。
a(1,0,0), m(1, ,1), n(,0,1), e(,1,1), f(0, ,1)
∴，即e、f、b、d四点共面。
设是平面bdfe的一个法向量，则。
∴可取是平面bdfe的一个法向量。
易验证，，∴
即也是平面amn的一个法向量，∴平面amn∥平面bdfe 。
4 空间向量与二面角计算。
设二面角的大小为，分别为两平面的法向量，则或者（如何选择要根据是锐角或钝角来决定）。运用二面角的向量计算公式，只凭坐标运算而不需添加辅助线，可轻松获解。
例4（2023年全国高考试题）如图，在底面是直角梯形的四棱锥s—abcd中，∠abc=900，sa⊥平面abcd，sa=ab=bc=1，ad= 。
1）四棱锥s—abcd的体积；（2）求面scd与面sba所成的二面角的正切值。
分析：易得ad⊥平面sab，vs-abcd=。下面解决第（2）小题，它是一个“棱”没有完全给出的二面角问题，用向量法解决如下。
解：以ad、ab、as分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所。
示的空间直角坐标系。
则a(0,0,0)，b（0,1,0），c（1,1,0），d（,0,0），s（0,0,1），∴
∵ad⊥面sab，∴就是平面sab的一个法向量。
设是平面scd的一个法向量，则，可取，计算得，∴。
依题意，所求二面角是锐角，因此，面scd与面sba所成的二面角的正切值为。
5 空间向量与点面距离的计算。
点(x0,y0,z0)到平面mx+ny+pz+q=0的距离公式为，其中(m,n,p)为平面的一个法向量。运用法向量可使点到平面距离的求法程序化和简单化。
例5（2023年全国高考题）已知正四棱柱abcd—a1b1c1d1，ab=1，aa1=2，点e为cc1的中点，点f为bd1的中点。
1）证明ef为bd1与cc1的公垂线；
2）求点d1到面bde的距离。
解：（1）建立如图直角坐标系，见例2，证略。
（2）设平面bde的方程是mx+ny+pz+q=0，把d(0,0,0),b(1,1,0),e(0,1,1)代入得，m=p=-n，p=0，平面bde方程为x-y+z=0 。
故点d1（0,0,2）到面bde的距离为：。
空间向量与立体几何解题
1 空间向量与异面直线夹角。例1 2000年高考新课程卷试题 如图，直三棱柱abc a1b1c1的底面三角形abc中，ca cb 1，bca 900，棱aa1 2，m n分别是a1b1 a1a的中点。1 求的长 2 求的值。例2 如图，已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为 1，m是棱aa1的...
立体几何解答题空间向量解法
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《空间向量与立体几何
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