一、选择题。
1．(2013·南昌模拟)在空间中，已知＝(2,4,0)，＝1,3,0)，则∠abc的大小为( )
a．45° b．90°
c．120° d．135°
解析】 由＝(－2，－4,0)，＝1,3,0)得。
cos〈，〉又0°≤〈180°，∠abc＝135°.
答案】 d2．(2013·山东高考)已知三棱柱abc—a1b1c1的侧棱与底面垂直，体积为，底面积是边长为的正三角形．若p为底面a1b1c1的中心，则pa与平面abc所成角的大小为( )
a. b.
c. d.
解析】 画出三棱柱abc—a1b1c1，作出pa与平面abc所成的角，解三角形求角．
如图所示，p为正三角形a1b1c1的中心，设o为△abc的中心，由题意知：po⊥平面abc，连接oa，则∠pao即为pa与平面abc所成的角．
在正三角形abc中，ab＝bc＝ac＝，则s＝×(2＝，vabc—a1b1c1＝s×po＝，∴po＝.
又ao＝×＝1，∴tan∠pao＝＝，pao＝.
答案】 b3．在四棱锥p—abcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd⊥平面abcd，ab＝pd＝a.点e为侧棱pc的中点，又作df⊥pb交pb于点f.则pb与平面efd所成角为( )
a．30° b．45°
c．60° d．90°
解析】 建立如图所示的空间直角坐标系d—xyz，d为坐标原点．则p(0,0，a)，b(a，a,0)，＝a，a，－a)，又＝，＝0＋－＝0，所以pb⊥de.由已知df⊥pb，又df∩de＝d，所以pb⊥平面efd，所以pb与平面efd所成角为90°.
答案】 d4．在正方体abcd—a1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为( )
a. b.
c. d.
解析】 以a为原点建立空间直角坐标系，如图．
设棱长为1，则a1(0,0,1)，e，d(0,1,0)，所以＝(0,1，－1)，设平面a1ed的一个法向量为n1＝(1，y，z)，则所以。
所以n1＝(1,2,2)．
设平面abcd的一个法向量为n2＝(0,0,1)，所以|cos〈n1，n2〉|＝
即平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为。故选b.
答案】 b5．p是二面角α—ab—β棱上的一点，分别在α，β平面上引射线pm，pn，如果∠bpm＝∠bpn＝45°，∠mpn＝60°，那么二面角α—ab—β的大小为。
a．60° b．70°
c．80° d．90°
解析】 不妨设pm＝a，pn＝b，作me⊥ab于点e，nf⊥ab于点f，如图．
因为∠epm＝∠fpn＝45°，所以pe＝a，pf＝b，所以·＝(
abcos 60°－a×bcos 45°－abcos 45°＋a×b
所以⊥，所以二面角α—ab—β的大小为90°.
答案】 d二、填空题。
6．已知a＝(2，－1,1)，b＝(－1,4，－2)，c＝(11,5，λ)若向量a，b，c共面，则。
解析】 由向量a，b，c共面可得c＝xa＋yb(x，y∈r)，故有解得。
答案】 17．(2013·湛江模拟)已知空间不共面四点o、a、b、c，·＝0，且则om与平面abc所成角的正切值是___
解析】 由题意可知，oa、ob、oc两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，设oa＝ob＝oc＝1，则a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0，0,1)，m(，，0)，故＝(－1,1,0)，＝1,0,1)，＝0)．
设平面abc的法向量为n＝(x，y，z)，则由，得，令x＝1，得平面abc的一个法向量为n＝(1,1,1)．
故cos＝＝，所以om与平面abc所成角的正弦值为，正切值为。
答案】 8．如图4－3－11，正方体abcd—a1b1c1d1，则下列四个命题：
图4－3－11
p在直线bc1上运动时，三棱锥a—d1pc的体积不变；
p在直线bc1上运动时，直线ap与平面acd1所成角的大小不变；
p在直线bc1上运动时，二面角p—ad1—c的大小不变；
m是平面a1b1c1d1上到点d和c1距离相等的点，则m点的轨迹是过d1点的直线．
其中真命题的编号是___写出所有真命题的编号)．
解析】 因为bc1∥ad1，所以bc1∥平面acd1，bc1上任意一点到平面acd1的距离为定值，所以va—d1pc＝vp—acd1为定值， ①正确；p到面acd1的距离不变，但ap的长在变化，所以ap与面acd1所成角的大小是变量，②错误；面pad1即面abc1d1，所以面abc1d1与面acd1所成二面角的大小不变，③正确；m点的轨迹为a1d1，④正确．
答案】 ①三、解答题。
9．(2013·江门模拟)如图4－3－12，直角梯形abcd中，ab∥cd，ab⊥bc，ab＝1，bc＝2，cd＝1＋，过a作ae⊥cd，垂足为分别是ce、ad的中点．现将△ade沿ae折起，使二面角d—ae—c的平面角为135°.
图4－3－12
1)求证：平面dce⊥平面abce；
2)求直线fg与平面dce所成角的正弦值．
解】 (1)证明：∵de⊥ae，ce⊥ae，de∩ce＝e，de，ce平面cde，ae⊥平面cde，ae平面abce，平面dce⊥平面abce.
2)以e为原点，ea、ec所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系。
de⊥ae，ce⊥ae，∠dec是二面角d—ae—c的平面角，即∠dec＝135°，ab＝1，bc＝2，折起前cd＝1＋，折起前后ce＝1，de＝不变，a(2,0,0)，b(2,1,0)，c(0,1,0)，e(0,0,0)，d(0，－1,1)．
f、g分别是ce、ad的中点，f，g
＝，＝2,0,0)，由(1)知是平面dce的法向量，设直线fg与平面dce所成角为α，则sin α＝故直线fg与平面dce所成角的正弦值为。
10．(2013·四川高考)如图4－3－13，在三棱柱abc－a1b1c1中，侧棱aa1⊥底面abc，ab＝ac＝2aa1，∠bac＝120°，d，d1分别是线段bc，b1c1的中点，p是线段ad的中点．
图4－3－13
1)在平面abc内，试作出过点p与平面a1bc平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面add1a1；
2)设(1)中的直线l交ab于点m，交ac于点n，求二面角a－a1m－n的余弦值．
解】 (1)如图(1)，在平面abc内，过点p作直线l∥bc，因为l在平面a1bc外，bc在平面a1bc内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面a1bc.
因为ab＝ac，d是bc的中点，所以bc⊥ad，则直线l⊥ad.
因为aa1⊥平面abc，所以aa1⊥l.
又因为ad，aa1在平面add1a1内，且ad与aa1相交，所以直线l⊥平面add1a1.
2)设a1a＝1，则ab＝ac＝2.如图，过点a1作a1e平行于c1b1，以点a1为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系o—xyz(点o与点a1重合 )，则a1(0,0,0)，a(0,0,1)．
因为p为ad的中点，所以m，n分别为ab，ac的中点，故m，n，所以＝，＝0,0,1)，＝0,0)．
设平面aa1m的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则。即。故有。
从而。取x1＝1，则y1＝－，所以n1＝(1，－，0)．
设平面a1mn的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则。即。故有。
从而。取y2＝2，则z2＝－1，所以n2＝(0,2，－1)．
设二面角a－a1m－n的平面角为θ，又θ为锐角，则cos θ＝
故二面角a－a1m－n的余弦值为。
11．(2013·济南模拟)已知四边形abcd是菱形，∠bad＝60°，四边形bdef是矩形，平面bdef⊥平面abcd，g、h分别是ce、cf的中点．
图4－3－14
1)求证：平面aef∥平面bdgh.
2)若平面bdgh与平面abcd所成的角为60°，求直线cf与平面bdgh所成的角的正弦值．
解】 (1)g、h分别是ce、cf的中点，所以ef∥gh.
连接ac与bd交与o，因为四边形abcd是菱形，所以o是ac的中点，连接og，og是三角形ace的中位线，og∥ae.
又ef∩ae＝e，gh∩og＝g，则平面aef∥平面bdgh.
2)bf⊥bd，平面bdef⊥平面abcd，所以bf⊥平面abcd.
取ef的中点n，连接on，则on∥bf，∴on⊥平面abcd，建立空间直角坐标系如图所示，设ab＝2，bf＝t(t＞0)，则b(1,0,0)，c(0，，0)，f(1,0，t)，h，＝(1,0,0)，＝
设平面bdgh的法向量为n1＝(x，y，z)，即n1＝(0，－t，)，平面abcd的法向量n2＝(0,0,1)，cos〈n1，n2〉|＝所以t2＝9，t＝3，所以＝(1，－，3)，设直线cf与平面bdgh所成的角为θ，sin θ＝cos〈，n1〉|＝
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