空间向量与立体几何

编稿：安东明审稿：安东明责编：辛文升

我们已经讲完了空间中线、面的位置关系，是以公理、定理为基础定性的来研究。下面我们从向量的角度来研究一下空间中线、面的位置关系。我们在高一时学过平面向量，可以用来解决平面几何的问题，现在解决立体几何的问题，我们用到的是空间向量。

空间向量可以在平面向量的基础上加以扩充，同时对平面向量进行一下复习。向量解决立体几何中有关平行、垂直、成角、距离等问题。

一。空间向量的基本概念、运算、定理

1. 空间向量的基本概念

由于我们所讲的向量可以自由移动，是自由向量，因此对于一个向量、两个向量都是共面的，他们的基本概念与平面向量完全一样。包括：向量的定义、向量的表示方法、向量的模、零向量、单位向量、向量的平行与共线、相等向量与相反向量等等

2. 空间向量的加法、减法与数乘运算

两个空间向量的加法、减法与数乘运算法则及其运算律都与平面向量的知识相同。但空间不共面的三个向量的和应该满足“平行六面体”法则。

即：平行六面体abcd-a＇b＇c＇d＇中，。

3. 空间向量的数量积

空间两个向量的数量积与平面两个向量的数量积的概念及法则都是一致的。

定义：的夹角（起点重合），规定

性质与运算律：

4. 空间向量中的基本定理

共线向量定理：对于任意空间向量

作用：证明直线与直线平行。

推论：p、a、b三点共线的充要条件：，其中o为任意一点，t为实数。

作用：证明三点共线。

共面向量定理（平面向量的基本定理）：两个向量不共线，向量共面的充要条件是存在实数对x、y使。

作用：证明直线与平面平行。

推论：p、a、b、c四点共面的充要条件：，其中o为任意一点，x、y、z为实数，且x+y+z=1。

作用：证明四点共面。

空间向量的基本定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任意向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z使。、、叫做基向量，叫做空间的一组基底。

作用：空间向量坐标表示的理论依据。

二。空间向量的坐标运算

1. 空间直角坐标系

我们在平面直角坐标系的基础上增加一个与平面垂直的方向，构成右手直角坐标系，即：伸出右手使拇指、食指、中指两两垂直，拇指、食指、中指分别指向x、y、z轴的正方向，空间任意一点可用一组有序实数确定，即：a（x，y，z）。

2. 向量的直角坐标运算

三。空间向量与立体几何

1. 有关平行问题

例1. 已知：正四棱柱abcd-a1b1c1d1中，，点e、m分别为a1b、c1c的中点，过点a1、b、m三点的平面a1bmn交c1d1于点n.

求证：em∥平面a1b1c1d1。

证明：则：

又证明：建立如图所示空间直角坐标系，设ab=2a，aa1=a(a>0)，

则a1（2a，0，a），b（2a，2a，0），c（0，2a，0），c1（0，2a，a）.

∵e为a1b的中点，m为cc1的中点，

∴em∥平面a1b1c1d1。

例2. 已知：四边形abcd、abef是正方形，m、n是fb、ac上的点，且fm=an求证：mn∥面ebc

证明：，∵四边形abcd、abef是正方形，fm=an

2. 有关垂直问题

例3. 已知：四面体a-bcd中，ab⊥cd，bc⊥ad，求证：ac⊥bd。

解：∵ab⊥cd，bc⊥ad，

例4. 已知：直三棱柱abc-a1b1c1中，，∠bac=90°，d为棱bb1的中点。

求证：平面a1dc⊥平面adc.

解：建立如图所示的空间直角坐标系，设ab=a，

则a1（0，0，2a），c（0，a，0），c1（0，a，2a），d（a，0，a），

3. 有关成角问题

例5. 已知：正方体abcd-a1b1c1d1中，e、f分别是bb1，cd的中点。

（1）求证：ad⊥d1f；

（2）求：ae与d1f所成的角；

（3）求证：面aed⊥面a1fd1。

解：建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2，

则d（0，0，0），a（2，0，0，），f（0，1，0），d1（0，0，2），a1（2，0，2），e（2，2，1）.

（2），即ae与d1f所成的角为直角。

（3）由（1）知则d1f⊥平面aed.

又d1f面a1fd1，∴面aed⊥面a1fd1.

例6. 已知：长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=aa1=a，，m是ad中点，n是b1c1中点。

（1）求证：a1、m、c、n四点共面；

（2）求证：平面a1mcn⊥平面a1bd1；

（3）求：a1b与平面a1mcn所成的角。

解：以d为原点建立空间直角坐标系，（1）

∴a1，m，c，n四点共面。

∴bd1⊥平面a1mcn，∴平面a1mcn⊥平面a1bd1。

（3）∵bd1⊥平面a1mcn，

∴θ=135°，∴a1b与平面a1mc所成的角等于45°。

单元练习：

1. 对于不共面的三个向量、、，下列命题正确的是（）

（a）；（b）总可以找到两个实数λ、μ使；

（c）这三个向量不能相加；

（d）对空间任意向量，存在有序实数组x1、x2、x3、x4，使，其中x1不等于零。

2. 平行六面体abcd-a1b1c1d1中，m为a1c1与b1d1的交点。若，则下列向量中与相等的向量是（）

（a）（b）（c）（d）

3. 正四面体abcd中，e为ab中点，f为cd的中点，则异面直线ef与ac所成的角为（）

（a） 90° （b） 60° （c） 45° （d） 30°

4. 正四棱柱abcd-a1b1c1d1中，底面abcd边长为1，侧棱长aa1=2，e为bb1中点，则异面直线ad1与a1e所成的角为（）

（a）（b）（c）90° （d）

5. 已知四棱锥p-abcd的底面abcd是平行四边形，（1）求证：pa⊥底面abcd；（2）求：pc的长。

6. 已知：棱长为a的正方体oabc-o＇a＇b＇c＇中，e，f分别是棱ab，bc上的动点，且ae=bf，求证：a＇f⊥c＇e。

练习答案 1. d 2. a 3. c 4. a5. 解：

6. 证明：如图，以o为原点建立空间直角坐标系，

设ae=bf=x，则a＇（a，0，a），f（a-x，a，0），c＇（0，a，a），e（a，x，0）

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