1．在正三角形abc中，e、f、p分别是ab、ac、bc边上的点，满足（如图1）.将△aef沿ef折起到的位置，使二面角a1－ef－b成直二面角，连结a1b、a1p（如图2）
（ⅰ）求证：a1e⊥平面bep
（ⅱ）求直线a1e与平面a1bp所成角的大小；
（ⅲ）求二面角b－a1p－f的大小（用反三角函数表示）.
解：不妨设正三角形的边长为3，则。
1）在图1中，取中点，连结，则∵ ,而，即。
是正三角形。
又∵, 在图2中有， ,为二面角的平面角。
二面角为直二面角， ∴
又∵, 平面，即⊥平面。
2）由（1）问可知a1e⊥平面bep，be⊥ef,建立如图的坐标系，则ｅ（0，0，0），a1（0，0，1）b（2，0，0），f（0，0，）.在图１中，不难得到ｅf//ｄp且ｅf＝ｄp；ｄｅfp且ｄｅ＝fp
故点ｐ的坐标ｐ（1，，0），
不妨设平面a1bp的法向量，则。
令得 ∴故直线a1e与平面a1bp所成角的大小为。
（3）由（2）问可知平面a1bp的法向量，，
设平面aep的法向量，则。
令得故。显然二面角b－a1p－f为钝角故二面角b－a1p－f为。
．如图，矩形abcd和梯形befc所在平面互相垂直，be//cf， bcf=cef=,ad=,ef=2。
ⅰ）求证：ae//平面dcf；
ⅱ）当ab的长为何值时，二面角a-ef-c的大小为？
解：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．设，则，，，
ⅰ）证明：，所以，，从而，所以平面．因为平面，所以平面平面．
故平面．ⅱ）解：因为，所以，，从而。
解得．所以，．
设与平面垂直，则，解得．又因为平面，所以，得到．
所以当为时，二面角的大小为．
．如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过作平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知．
1）．求证：⊥平面；
2）．求二面角的大小；
解：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则。
所以。所以。
所以平面。由∥得∥，故：平面。
2)由已知设。
则。由与共线得：存在有得。
同理： 设是平面的一个法向量，则令得
又是平面的一个法量
所以二面角的大小为。
．如图6，在三棱锥中，，，点分别是的中点，底面．
1）求证：平面；
2）当时，求直线与平面所成角的大小；
3）当为何值时，在平面内的射影恰好为的重心？
．解：（1）证明：平面，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．
设，则．设，则．
为的中点，．
平面．2），即，可求得平面的法向量．
设与平面所成的角为，则．
与平面所成的角为．
3）的重心，平面，．又，．即．
反之，当时，三棱锥为正三棱锥．
在平面内的射影为的重心．
．在如图所示的多面体中，已知正方形abcd和直角梯形acef所在的平面互相垂直，ec⊥ac，ef∥ac，ab＝，ef＝ec＝1，
求证：平面bef⊥平面def；
求二面角a－bf－e的大小。
解：∵平面acef⊥平面abcd，ec⊥ac，∴ec⊥平面abcd；
建立如图所示的空间直角坐标系c－xyz，则。
设平面bef、平面def的法向量分别为。则。
由①③③解得，∴,故平面bef⊥平面def
设平面abf的法向量为，∵，解得，……8分）∴
由图知，二面角a－bf－e的平面角是钝角，故所求二面角的大小为。
．三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，
ⅰ）证明：平面平面；
ⅱ）求二面角的余弦值．
解：（ⅰ如图，建立空间直角坐标系，则，．
点坐标为．．，又，平面，又平面，平面平面．
ⅱ）平面，取为平面的法向量，设平面的法向量为，则．
如图，可取，则，即二面角的余弦值为．
．如图，正三棱柱中，是的中点，
ⅰ）求证：∥平面；
ⅱ）求二面角的大小。
解：建立空间直角坐标系—，如图，ⅰ）证明：连接连接。设。则。平面。
ⅱ）解： 设。
故。同理，可求得平面。
设二面角——的大小为。
－的大小为。
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