立体几何中的向量方法。
备课：余乃灵。
在立体几何的学习中，求各种“空间角”、和空间“距离”的难点在于作出相应的“角”及作出表示“距离”的线段，并给出相应的证明。引入向量的工具，避开了“作”、“证”这个难点，提供了解决求空间角、距离及证明“垂直”、“平行”的通法。进一步强化了“坐标法”、“数形结合”和“转化”等数学思想方法。
复习过程与方法：
1. 立足课本，掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法。
2. 掌握向量作为工具解决立几问题的方法。
3. 向量解题后建议多思考传统的方法，不仅可以锻炼思维能力，还可以深刻认识空间几何的本质。
相关知识与能力：
一。空间距离的计算。
1. 空间两点间的距离：设a、b是空间两点，则a、b两点间的距离d=||
2.两条异面直线间的距离：设a、b是两条异面直线，是a、b的公共法向量（即），点aa,bb
则异面直线a、b间的距离。
即方向上的射影长为异面直线a、b间的距离。
3.点（或线）到平面的距离：
1）设。p是平面α内任一点，则po到平面α的距离。
2)直线与平面（或平面与平面）的距离转化为点到平面的距离。
二。空间角度的计算。
1. 两条异面直线所成的角：设l1与l2两条异面直线，∥l1 ，∥l2，则l1与l2所成的角。
α=<或α=л0<α≤
cos<， 或 cosα= 0<α≤
2. 斜线p0p与平面α所成的角θ
3.二面角：设相交平面α与β的法向量分别为，则α与β所成的角的大小为<> 或 （如何确定？）
基础演练：1.(1).二面角α-l-β的大小。
是120o,a、cl,bα,且ab⊥l,cd⊥l,ab=cd=a,ac=2a。求bd的长。
2) 二面角α-l-β,a、cl,bα,且ab⊥l,cd⊥l,ab=cd=a,ac=2a,bd=,求二面角α-l-β的大小。
2.正方体。
中，e、f分别为、
的中点，1)与所成角。
2)与所成角。
3)与所成角。
4)与所成角。
5)与所成角； (6)与平面所成角。
7)与平面所成角； (8)二面角的大小； (9)二面角的大小；
10)二面角的大小； (11)的长度；
12）c到abd1的距离； (13)四面体efbc1的体积；
14)异面直线ec,ad1的距离；
3.如图正三棱柱，棱都相等，d是bc的中点。 若ab=2。
1） 求证a1b∥平面adc1。
2）求a1b与截面adc1的距离
巩固提高。1. 如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直。点在上，点在上，若。
求mn与be所成角的余弦值。
2.直三棱柱abc－a1b1c1中，aa1＝2，ab＝ac＝1，bac＝900，已知点m是。
bc的中点，点n在侧棱cc1上。
ⅰ).当线段cn的长度为多少。
时，mn⊥ab1；
ⅱ).若mn⊥ab1，求b1n与。
平面ab1m所成角的余弦值。
3.在平行四边形abcd中，ab=ac=1，∠acb=900,将。
它沿对角线ac折起，使ab
与cd成600角，求b、d间距离。
4.已知四棱锥p—abcd的底面为正方形，pa⊥底面abcd，e、f分别为ab、pd的中点，pa=a，二面角p—cd—b为45°。 1）求证：
af∥平面pce；（2）求证：平面pce⊥平面pcd；（3）求点d到平面pce的距离。基础演练：
3解：1) 建立空间直角坐标系a-xyz
则：a（0，0，0），b（，1，0）
c（0，2，0），c1（0，2，2），a1（0，0，2
∴d设平面adc1的法向量为。
从而有： 取。
又 a1b平面adc1
∴a1b∥平面adc1
2)由1）知，a1b∥平面adc1，所以a1b与截面adc1的距离等于a1点到截面adc1的距离。
故a1b与截面adc1的距离等于。
巩固提高：1. 解1：由条件知：ba、bc、be三线两两垂直。
成以可建直角坐标系如图所示。
∵cm=1 ∴
同理：∴ 又
故mn与be所成角的余弦值为。
注：求点m的坐标用到了空间定比分点坐标公式：
2.（ⅰcn＝时，mn⊥ab1；（ⅱ
4. （1）∵底面是正方形，∴ad⊥cd
又pa⊥底面ac，∴pd⊥cd（三垂线定理）
∠pda=45°∴ad=pa=a
建立直角坐标系（如图所示）
则易得：a（0，0，0）b（a，0，0）
c（a，a，0）d(0，a，0)p（0，0，a）
又e、f分别是ab、pd的中点。
设平面pce的法向量为。则由。
又af平面pce，故af∥平面pcd
2）易得。得法向量为，又由（1）知：
∴从而平面pce⊥平面pcd。
求点d到平面pce的距离。
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