1，如图，四棱锥p—abcd中，底面abcd是矩形，pa⊥底面abcd，pa=ab=1，ad=，点f是pb的中点，点e在边bc上移动．
（1）求三棱锥e－pad的体积；
（2）点e为bc的中点时，试判断ef与平面pac的位置关系，并说明理由；
3）证明：无论点e在bc边的何处，都有pe⊥af
2，已知正方体abcd－的棱长为1，求直线与ac的距离．
3，如图，正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直，ce⊥ac,ef∥ac,ab=，ce=ef=1.
ⅰ）求证：af∥平面bde；
ⅱ）求证：cf⊥平面bde；
ⅲ）求二面角a-be-d的大小。
1，（1）∵pa⊥底面abcd，∴pa⊥ad，三棱锥e－pad的体积为．……4分。
（2）当点e为bc的中点时，ef与平面pac平行。∵在△pbc中，e、f分别为bc、pb的中点，ef//pc 又ef平面pac，
而pc平面pac ∴ef//平面pac9分
（3）∵pa⊥平面abcd，be平面abcd，eb⊥pa.又eb⊥ab，ab∩ap=a，ab，ap平面pab，eb⊥平面pab，又af平面pab，∴af⊥be.
又pa=ab=1，点f是pb的中点，∴af⊥pb，
又∵pb∩be=b，pb，be平面pbe，∴af⊥平面pbe.
pe平面pbe，∴af⊥pe14分。
2，解：建立空间直角坐标系－xyz，则有，．
设n是直线l方向上的单位向量，则．
n，n， ，解得或．
取n，则向量在直线l上的投影为。
n··．由两个向量的数量积的几何意义知，直线与ac的距离为。
3，证明：（i） 设ac与bd交与点g。
因为ef//ag，且ef=1，ag=ac=1.
所以四边形agef为平行四边形。
所以af//平面eg，因为平面bde，af平面bde，所以af//平面bde.
（ii）因为正方形abcd和四边形acef所在的平面。
相互垂直，且ceac，所以ce平面abcd.
如图，以c为原点，建立空间直角坐标系c-.
则c（0，0，0），a（，，0），b（0，，0）.
所以，，.所以，所以，.
所以bde.
iii) 由（ii）知，是平面bde的一个法向量。
设平面abe的法向量，则，.
即。所以且。
令则。所以。
从而。因为二面角为锐角，所以二面角的大小为。
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