1. 已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知。
i）求证：平面；
ii）求到平面的距离；
iii）求二面角的大小。
解：（i）因为平面，所以平面平面，又，所以平面，得，又。
所以平面；ii）因为，所以四边形为
菱形，故，又为中点，知。
取中点，则平面，从而面面，
过作于，则面，在中，，故，即到平面的距离为。
（iii）过作于，连，则，从而为二面角的平面角，在中，，所以，在中，故二面角的大小为。
解法2：（i）如图，取的中点，则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，由，知，又，从而平面；
（ii）由，得。
设平面的法向量为，，，所以。
设，则。所以点到平面的距离。
（iii）再设平面的法向量为，所以。
设，则，故，根据法向量的方向，可知二面角的大小为。
2、正三棱柱的所有棱长都为。
为中点 ⅰ）求证：平面；
ⅱ）求二面角的大小；
ⅲ）求点到平面的距离答案。
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