第一次作业[2014·新课标全国卷ⅰ] 如图15,三棱柱abc a1b1c1中,侧面bb1c1c为菱形,ab⊥b1c.
图151)证明:ac=ab1;
2)若ac⊥ab1,∠cbb1=60°,ab=bc,求二面角a a1b1 c1的余弦值.
19.解:(1)证明:连接bc1,交b1c于点o,连接ao,因为侧面bb1c1c为菱形,所以b1c⊥bc1,且o为b1c及bc1的中点.
又ab⊥b1c,所以b1c⊥平面abo.
由于ao平面abo,故b1c⊥ao.
又b1o=co,故ac=ab1.
2)因为ac⊥ab1,且o为b1c的中点,所以ao=co.
又因为ab=bc,所以△boa≌ △boc.故oa⊥ob,从而oa,ob,ob1两两垂直.
以o为坐标原点,ob的方向为x轴正方向,|ob|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系o xyz.
因为∠cbb1=60°,所以△cbb1为等边三角形,又ab=bc,则a,b(1,0,0),b1,c.,ab=,1=bc=.
设n=(x,y,z)是平面aa1b1的法向量,则。
即。所以可取n=(1,,)
设m是平面a1b1c1的法向量,则。
同理可取m=(1,-,
则cos〈n,m〉==
所以结合图形知二面角a a1b1 c1的余弦值为。
第二次作业[2014·江西卷] 如图16,四棱锥p abcd中,abcd为矩形,平面pad⊥平面abcd.
图161)求证:ab⊥pd.
2)若∠bpc=90°,pb=,pc=2,问ab为何值时,四棱锥p abcd的体积最大?并求此时平面bpc与平面dpc夹角的余弦值.
19.解:(1)证明:因为abcd为矩形,所以ab⊥ad.
又平面pad⊥平面abcd,平面pad∩平面abcd=ad,所以ab⊥平面pad,故ab⊥pd.
2)过p作ad的垂线,垂足为o,过o作bc的垂线,垂足为g,连接pg.
故po⊥平面abcd,bc⊥平面pog,bc⊥pg.
在rt△bpc中,pg=,gc=,bg=.
设ab=m,则op==,故四棱锥p abcd的体积为。
v=×·m·=.
因为m==所以当m=,即ab=时,四棱锥p abcd的体积最大.
此时,建立如图所示的空间直角坐标系,各点的坐标分别为o(0,0,0),b,c,d,p,故=,=0,,0),cd=.
设平面bpc的一个法向量为n1=(x,y,1),则由n1⊥,n1⊥,得解得x=1,y=0,则n1=(1,0,1).
同理可求出平面dpc的一个法向量为n2=.
设平面bpc与平面dpc的夹角为θ,则cos θ=
第三次作业 [2014·辽宁卷] 如图15所示,△abc和△bcd所在平面互相垂直,且ab=bc=bd=2,∠abc=∠dbc=120°,e,f分别为ac,dc的中点.
1)求证:ef⊥bc;
2)求二面角ebfc的正弦值.
图1519.解:(1)证明:方法一,过点e作eo⊥bc,垂足为o,连接of.
由△abc≌△dbc可证出△eoc≌△foc,所以∠eoc=∠foc=,即fo⊥bc.又eo⊥bc,eo∩fo=o,所以bc⊥平面efo.又ef平面efo,所以ef⊥bc.
图1方法二,由题意,以b为坐标原点,在平面dbc内过b作垂直bc的直线,并将其作为x轴,bc所在直线为y轴,在平面abc内过b作垂直bc的直线,并将其作为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,易得b(0,0,0),a(0,-1,),d(,-1,0),c(0,2,0),因而e(0,,)f(,,0),所以=(,0,-)0,2,0),因此·=0,从而⊥,所以ef⊥bc.
图22)方法一,在图1中,过点o作og⊥bf,垂足为g,连接eg.因为平面abc⊥平面bdc,所以eo⊥面bdc,又og⊥bf,所以由三垂线定理知eg⊥bf,因此∠ego为二面角ebfc的平面角.
在△eoc中,eo=ec=bc·cos 30°=.
由△bgo∽△bfc知,og=·fc=,因此tan∠ego==2,从而得sin∠ego=,即二面角ebfc的正弦值为。
方法二,在图2中,平面bfc的一个法向量为n1=(0,0,1).
设平面bef的法向量n2=(x,y,z),又=(,0),=0,,)所以得其中一个n2=(1,-,1).
设二面角ebfc的大小为θ,且由题知θ为锐角,则cos θ=cos〈n1,n2〉|=因此sin θ=即所求二面角正弦值为。
第四次作业[2014·福建卷] 在平面四边形abcd中,ab=bd=cd=1,ab⊥bd,cd⊥bd.将△abd沿bd折起,使得平面abd⊥平面bcd,如图15所示.
1)求证:ab⊥cd;
2)若m为ad中点,求直线ad与平面mbc所成角的正弦值.
图1517.解:(1)证明:∵平面abd⊥平面bcd,平面abd∩平面bcd=bd,ab平面abd,ab⊥bd,∴ab⊥平面bcd.
又cd平面bcd,∴ab⊥cd.
2)过点b在平面bcd内作be⊥bd.
由(1)知ab⊥平面bcd,be平面bcd,bd平面bcd,∴ab⊥be,ab⊥bd.
以b为坐标原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示).
依题意,得b(0,0,0),c(1,1,0),d(0,1,0),a(0,0,1),m.
则=(1,1,0),=0,1,-1).
设平面mbc的法向量n=(x0,y0,z0),则即。
取z0=1,得平面mbc的一个法向量n=(1,-1,1).
设直线ad与平面mbc所成角为θ,则sin θ=
即直线ad与平面mbc所成角的正弦值为。
第五次作业[2014·广东卷] 如图14,四边形abcd为正方形,pd⊥平面abcd,∠dpc=30°,af⊥pc于点f,fe∥cd,交pd于点e.
1)证明:cf⊥平面adf;
2)求二面角d af e的余弦值.
图14第六次作业[2014·湖南卷] 如图16所示,四棱柱abcd a1b1c1d1的所有棱长都相等,ac∩bd=o,a1c1∩b1d1=o1,四边形acc1a1和四边形bdd1b1均为矩形.
1)证明:o1o⊥底面abcd;
2)若∠cba=60°,求二面角c1ob1d的余弦值.
图1619.解:(1)如图(a),因为四边形acc1a1为矩形,所以cc1⊥ac.同理dd1⊥bd.
因为cc1∥dd1,所以cc1⊥bd.而ac∩bd=o,因此cc1⊥底面abcd.
由题设知,o1o∥c1c.故o1o⊥底面abcd.
2)方法一: 如图(a),过o1作o1h⊥ob1于h,连接hc1.
由(1)知,o1o⊥底面abcd,所以o1o⊥底面a1b1c1d1,于是o1o⊥a1c1.
图(a)又因为四棱柱abcd a1b1c1d1的所有棱长都相等,所以四边形a1b1c1d1是菱形,因此a1c1⊥b1d1,从而a1c1⊥平面bdd1b1,所以a1c1⊥ob1,于是ob1⊥平面o1hc1.
进而ob1⊥c1h.故∠c1ho1是二面角c1ob1d的平面角.
不妨设ab=2.因为∠cba=60°,所以ob=,oc=1,ob1=.
在rt△oo1b1中,易知o1h==2.而o1c1=1,于是c1h===
故cos∠c1ho1===
即二面角c1ob1d的余弦值为。
方法二:因为四棱柱abcd a1b1c1d1的所有棱长都相等,所以四边形abcd是菱形,因此ac⊥bd.又o1o⊥底面abcd,从而ob,oc,oo1两两垂直.
图(b)如图(b),以o为坐标原点,ob,oc,oo1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系o xyz,不妨设ab=2.因为∠cba=60°,所以ob=,oc=1,于是相关各点的坐标为o(0,0,0),b1(,0,2),c1(0,1,2).
易知,n1=(0,1,0)是平面bdd1b1的一个法向量.
设n2=(x,y,z)是平面ob1c1的一个法向量,则即。
取z=-,则x=2,y=2,所以n2=(2,2,-)
设二面角c1ob1d的大小为θ,易知θ是锐角,于是。
cos θ=cos〈,〉
故二面角c1ob1d的余弦值为。
第七次作业[2014·天津卷] 如图14所示,在四棱锥p abcd中,pa⊥底面abcd, ad⊥ab,ab∥dc,ad=dc=ap=2,ab=1,点e为棱pc的中点.
1)证明:be⊥dc;
2)求直线be与平面pbd所成角的正弦值;
3)若f为棱pc上一点,满足bf⊥ac,求二面角f ab p的余弦值.
立体几何作业
1 如图,空间几何体abcdef中,四边形abcd是菱形,直角梯形adfe所在平面与面abcd垂直,且。aead,ef ad,其中p,q分别为棱be,df的中点 1 求证 bd平面ace 2 求证 pq 平面abcd 2.如图,在三棱锥abcd中,bc 3,bd 4,cd 5,ad bc,e f分别...
立体几何作业
一 直线与平面平行,平面与平面平行。1.2011北京西城区期末 如图,在三棱柱中,侧面,均为正方形,点是棱的中点。求证 平面 2.2011承德期末 如图,直四棱柱中,底面是的菱形,点在棱上,点是棱的中点。若是的中点,求证 3.2011苏北四市二调 如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面 平面,为的中点,...
立体几何作业
大成培训立体几何强化训练。1.如图,在四面体abcd中,cb cd ad bd,点e f分别是ab bd的中点。求证 直线ef 平面acd 平面efc 平面bcd.2.如图,在直三棱柱abc a1b1c1中,e f分别是a1b a1c的中点,点d在b1c1上,a1d b1c 求证 ef 平面abc平...