知识点一：线的方向向量与直线的向量方程。
给定点a，向量，由向量确定的点p的轨迹是过a且平行于的一条直线，反之，在上任取一点p，也一定存在实数t，使得。通常称为空间直线的向量参数方程，向量称为该直线的方向向量。
直线的方向向量：a、b在直线l上，可取为直线的方向向量。
直线的向量方程：a、b在直线l上，p为直线l上任意点。
特别地：中点公式：时，中点m满足：
定比分点公式：，则。
知识点二：平面的法向量与平面的表示。
平面的法向量：若向量的基线与平面垂直，则称为平面的法向量，向量与平面垂直。
由定义可知：
平面的法向量垂直于与共面的所有向量。
平面的所有法向量互相平行。
平面的向量式：平面m过定点a，法向量为，则平面上任一点p满足：
平面的解析式：
例1．已知点a（2，3，0）、b（－1，0，2）、c（0，1，1），求平面abc的法向量。
例2．求证a（3，0，5），b（2，3，0），c（0，5，0），d（1，2，5）四点共面。
变式：在正方体abcd—a1b1c1d1中，求证：是平面acd1的法向量。
知识点三：向量方法证明平行垂直关系。
用空间向量解决立体几何问题的一般步骤：
1．建立立体图形与空间向量的联系，用已知向量或坐标表示各线段。
2．通过向量运算加以计算或证明。
3．将结果回归为对应的几何问题。
（1）线线平行：或，重合。
（2）线面平行：或在内。
或在内。（3）面面平行：或与重合。
（4）线线垂直：
（5）线面垂直：
（6）面面垂直：
注意：1．选择合适的坐标系，利用现有的垂直。
2．异面直线所成角的范围。
例1．已知：正方体abcd—a1b1c1d1中，点m是dd1的中点，求证：bd1∥平面amc。
例2．如图所示，正方体abcd—a1b1c1d1中，求证：平面acd1∥平面a1bc1。
变式：正方体abcd—a1b1c1d1中，点e，f分别为ad1，bd上的点，且ae=bf，求证：ef∥平面cdd1c1。
变式：如图，sa⊥矩形abcd所在平面，e、f分别为ab、sc的中点。
1）求证：ef∥面sad；
（2）求证：ef⊥cd。
例3：如图，在正方体abcd—efgh中，m是棱ae的中点，求证：面mbd⊥面gbd。
变式：已知如图，在正方形abcd中，pa⊥底面abcd，且pa=ab=2，e、f分别是ab与pd的中点。
（1）求证：pc⊥af；
（2）求证：af∥平面pec；
（3）求证：af⊥平面pdc，pd⊥平面afe
知识点四：空间向量求角与距离。
1 异面直线所成的角：由则---
2 直线ab与平面所成角：（1）先求平面的法向量 (2)所求角为，则=
3 二面角：设分别是二面角的两个面的法向量，其夹角为，则二面角的大小为或。
4 点到平面的距离：设是平面的法向量，ab是平面的斜线段，a，则b到平面的距离为d=
例1：如右下图，在长方体abcd-a1b1c1d1中，已知ab= 4， ad =3， aa1= 2．e、f分别是线段ab、bc上的点，且eb= fb=1．
1）求二面角c-de-c1的正切值；
（2）求直线ec1与fd1所成的余弦值．
变式：如图，三棱锥p—abc中， pc平面abc，pc=ac=2，ab=bc，d是pb上一点，且cd平面pab．
求证：ab平面pcb；
求异面直线ap与bc所成角的大小；
()求二面角c-pa-b的大小的余弦值．
例2：如图直角梯形oabc中，，oc=2，oa=ab=1，so⊥平面oabc，so=1，以oc、oa、os分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系o-xyz．
（1）求与的夹角的大小（结果用反三角函数表示）；
（2）设n=（1，p，q），满足n⊥平面sbc，求：
①n的坐标；
oa与平面sbc的夹角；
o到平面sbc的距离．
变式：（2023年高考（湖北理））如图1,,,过动点a作，垂足d**段bc上且异于点b,连接ab,沿将△折起，使(如图2所示).
ⅰ)当的长为多少时，三棱锥的体积最大；
ⅱ)当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在。
棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小。
随堂练习。1．如图，直三棱柱abc—a1b1c1中，∠acb=90°，ac=aa1=1，，ab1与a1b相交于点d，m为b1c1的中点。
（1）求证：cd⊥平面bdm；
（2）求平面b1bd与平面cbd所成二面角的大小。
2．如图，在四棱锥p—abcd中，底面abcd为正方形，pd⊥平面abcd，且pd=ab=a，e为pb的中点。
（1）求异面直线pd与ae所成的角的大小；
（2）在平面pad内求一点f，使得ef⊥平面pbc；
（3）在（2）的条件下求二面角f—pc—e的大小。
《空间向量与立体几何
高二 2 部数学 空间向量与立体几何 单元测试卷二。班级 姓名 一 选择题 每小题5分，共60分 1.如图，在平行六面体abcd a1b1c1d1中，m为ac与bd的交点。若 a，b，c，则下列向量中与相等的向量是。a.a b cb.a b c c.a b cd.a b c 2.下列等式中，使点m与...
空间向量与立体几何
空间向量与立体几何 1 2010 7 20 命题人 朱老师学号姓名 一 选择题 每小题 分，共50分 1.已知向量，且与互相垂直，则的值是。a.1 b.c.d.2.已知a 2，1，3 b 4，x，2 且a b，则x的值是。3.已知向量，若，则的值是。a.或 b.3或c.d.4.如图，长方体abcd ...
空间向量与立体几何
高二 2 部数学 空间向量与立体几何 单元测试卷一。班级 姓名 一 选择题 每小题5分，共60分 1 在正三棱柱abc a1b1c1中，若ab bb1，则ab1与c1b所成的角的大小为 a 60 b 90 c 105 d 75 2 如图，abcd a1b1c1d1是正方体，b1e1 d1f1 则be...