空间向量。
空间向量的坐标
1、空间直角坐标系：
坐标平面，分别称为平面，平面，平面；
空间任一点，存在唯一的有序实数组。
2、计算：设。
设=（a1，a2，a3），=b1，b2，b3） ；
模长公式：若， 则．
夹角公式：．
两点间的距离公式：若，，则。
3、法向量：如果，那么向量叫做平面的法向量。
在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量，在平面内任找两个不共线的向量。由，得且，由此得到关于，z的方程组，解方程组可得到。
例：如图边长为2的正方体，e，f为中点求面aef的的法向量？
题型：1. 空间向量证明立体几何问题：
证明两直线平行，只需要证明两直线上的向量
证明两直线垂直，只需要证明两直线上的向量。
例1：正方体abcd-a1b1c1d1 中，e为dd1的中点。
1）求证： dd1面eac （2）求证a1c面d1 b1a
题型：2. 空间向量求异面直线所成角：
a. 求两条异面直线上的向量，b. 求两向量的夹角。
注意：异面直线所成角范围恒大于等于0
例2：正方体abcd-a1b1c1d1中m为a1b1中点，n为b b1中点，求异面直线am与cn所成的角的余弦值 ？
题型：3. 空间向量求直线与平面所成角：
如图，设是平面的法向量，ab是平面的一条斜线，，则ab与平面。
所成的角为：
图1: 图2:
例3：已知如图3-1,四棱锥p-abcd的底面为直角梯形，ab∥dc，底面abcd，且pa=ad=dc=ab=1，m是pb的中点。
求am与面pcd所成的角；
题型：4. 空间向量求二面角所成的平面角：
设向量，分别是平面、的法向量，则二面角的平面角为：
图1）;图2)
例4：如图，四棱锥p-abcd的底面为直角梯形，ab∥dc，底面abcd，且pa=ad=dc=ab=1，m是pb的中点。
求面amc与面bmc所成二面角的大小。
题型：5.空间向量求点到平面的距离：
已知ab是平面α的一条斜线，为平面α的法向量，则 a到平面α的距离为；
例5：在长方体abcd－a1b1c1d1中，已知ab＝aa1＝a，bc＝a，m是ad的中点。
求点a到平面a1mc的距离。
练习题。1．已知向量=（2，4，x），=2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（ ）
a. －3或1 b.3或－1 c. －3 d.1
2.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，则。
a. x=1,y=1 b. x=，y=- c. x=，y=- d. x=-，y=
3．正方体abcd—中，e、f分别是ab、cc1的中点，则异面直线a1c与ef所成角的余弦值为（）
abcd.
4．在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是( )
a． b． c． d．
5．在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为，则二面角。
的余弦值为（ ）
a． b． c． d．
6．在长方体abcd－a1b1c1d1中，已知ab＝aa1＝a，bc＝a，m是ad的中点。
ⅰ)求证：ad∥平面a1bc； (求证：平面a1mc⊥平面a1bd1；
7．长方体abcd—中，ab=4，ad=6，，m是a1c1的中点，p**段bc上，且|cp|=2，q是dd1的中点，求：（1）异面直线am与pq所成角的余弦值；（2）m到平面ab1p的距离。
8．已知棱长为1的正方体abcd－a1b1c1d1中，e、f分别是b1c1和c1d1的中点，1）求ab与面befd所成角的正弦值 （2）求面befd与面bcd所成角的余弦值。
（3）求四棱锥a1-befd的体积。
9. 在直四棱柱中，，，
ⅰ）求证：平面；（ⅱ求与平面所成角的大小．
）求：二面角的大小。
10．在三棱锥中，△是边长为的正三角形，平面平面，、分别为的中点。
ⅰ）证明：⊥；求二面角--的大小；
ⅲ）求点到平面的距离。
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