空间向量与立体几何

一、框架。

第一方面：高考命题热点分析。

高考题中立体几何至少一小题一大题，考察的重点热点内容有：

1、三视图的识别、转化，根据三视图求表面积与体积；

2、位置关系的判断与推证；

3、空间中角和距离问题等。

在命题形式上在动态变化，存在性问题，探索性问题以及与其它知识交汇上不断创新，彰显空间问题平面化，几何问题代数化，立体几何向量化的特点。

立体几何（部分内容）

一、几何关系问题求证：熟知4个判定定理与4个性质定理，熟知相关性质；

二、立体几何中的折叠与展开问题：解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化；

三、立体几何中的最值问题：分析是否能用公理与定义直接解决题中问题；如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建立函数法求解；再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解；还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面。

四、立体几何中的探索性问题：

1）对命题条件的探索：

探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么．对命题条件的探索常采用以下三种方法：

先猜后证，即先观察与尝试给出条件再给出证明；

先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；

把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件．

2）对命题结论的探索：

探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么．对命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，另外还有探索的结论是否存在．求解时，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾的结论。

第二方面：立体几何中的空间向量法的框架结构。

第三方面：建立空间直角坐标系问题。

建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴。

1、轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即轴要与坐标平面垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为轴与底面的交点。

2、轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：

1）尽可能的让底面上更多的点位于轴上。

2）找角：轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件。

3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点。

3、常用的空间直角坐标系满足轴成右手系，所以在标轴时要注意。

4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。

5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个过程不能省略。

坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类。

1、能够直接写出坐标的点。

1）坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的点，坐标特点如下：轴：轴：轴：

规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0

2）底面上的点：坐标均为，即竖坐标，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例：

则可快速写出点的坐标，位置关系清晰明了

2、空间中在底面投影为特殊位置的点：

如果在底面的投影为，那么（即点与投影点的横纵坐标相同）

由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：

正方体中的点，其投影为，而所以，而其到底面的距离为，故坐标为。

以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法：

3、需要计算的点。

中点坐标公式：，则中点，图中的等中点坐标均可计算。

利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，进而可以求出一些位置不好的点的坐标，方法通常是先设出所求点的坐标，再选取向量，利用向量关系解出变量的值，例如：求点的坐标，如果使用向量计算，则设，可直接写出，观察向量，而，

第四方面：直线的方向向量与平面的法向量。

1.直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定。

例如：，则直线的方向向量为

2.平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面垂直的直线称为平面的法线，法线的方向向量就是平面的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？

1）所需条件：平面上的两条不平行的直线。

2）求法：（先设再求）设平面的法向量为，若平面上所选两条直线的方向向量分别为，则可列出方程组：

解出的比值即可。

例如：，求所在平面的法向量。

解：设，则有，解得：

第五方面：平行与垂直问题。

空间向量可解决的立体几何问题（用表示直线的方向向量，用表示平面的法向量）

常见的判定方法：

1）线线平行：

2）线线垂直：

3）面面平行：

4）面面垂直：

第六方面：公式一览。

1）两直线所成角：

2）线面角：

3）二面角：或（视平面角与法向量夹角关系而定）

4）点到平面距离：设为平面外一点，为平面上任意一点，则到平面的距离为，即在法向量上投影的绝对值。

第七方面：空间向量法求三种角。

1、两条异面直线所成角的求法。

设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝cos θ|其中φ为异面直线a，b所成的角)．

2．直线和平面所成的角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝cos θ|

3．求二面角的大小。

1)如图①，ab，cd是二面角α l β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小。

2)如图②③，n1，n2分别是二面角α l β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小。

＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．

注意点：1．求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽视了夹角为。

2．求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值．

3．利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定．由图形知二面角是锐角时cos θ＝由图形知二面角是钝角时，cos θ＝当图形不能确定时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点．

第八方面：空间向量法求三种角的步骤呈现。

1、求直线和平面所成的角。

1．向量法求异面直线所成的角的方法有两种。

1)基向量法：利用线性运算． (2)坐标法：利用坐标运算．

2．注意向量的夹角与异面直线所成角的区别。

当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．

2、求直线和平面所成的角。

1．利用平面的法向量求线面角时，应注意。

1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求．

2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1求出其值．不要误为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求．

2．已知为直线上任意两点，为平面的法向量，则和平面所成的角为：

当时当时。3、利用法向量求二面角的大小的原理：

1．利用法向量求二面角时应注意。

1)对于某些平面的法向量要注意题中隐含着，不用单独求．

2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误．

2．设为平面的法向量，二面角的大小为，向量的夹角为，则有或。

图1图2 说明：通过法向量的方向来求解二面角，两个法向量的方向是“一进一出”，所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角，如果是“同进同出”，所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角的补角。

第九方面：点的存在性问题。

点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，解决这种问题的方法：

1、理念：先设再求——先设出所求点的坐标，再想办法利用条件求出坐标。

2、解题关键：减少变量数量——可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：

1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标。

2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标。

规律：维度=所用变量个数。

3、如何减少变量：

1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理——若使得

例：已知，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示，方法如下：——三点中取两点构成两个向量。

因为在上，所以——共线定理的应用（关键）

即——仅用一个变量表示。

2）平面上的点：平面向量基本定理——若不共线，则平面上任意一个向量，均存在，使得：

例：已知，则平面上的某点坐标可用两个变量表示，方法如下：，故，即。

二、方法诠释。

第一方面：方向向量与法向量。

1、直线的方向向量与平面的法向量的确定。

1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．

2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为。

2、用向量证明空间中的平行关系。

1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)v1∥v2.

2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或lα存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.

3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或lαv⊥u.

4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥βu1∥u2.

3、用向量证明空间中的垂直关系。

1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2v1⊥v2v1·v2＝0.

2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥αv∥u.

3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥βu1⊥u2u1·u2＝0.

例1：完成下面5个小题。

1.平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β则k等于( )

a．2b．－4 c．4d．－2

空间向量与立体几何

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